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1、2023/6/26,近世代数,第二章 群论 11 图形的对称变换群、群的应用,2023/6/26,一、图形的对称变换群,定义1:使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换.,定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的对称变换群.,2023/6/26,例 1 正三角形的对称变换群.,设正三角形的三个顶点分别为1、2、3.显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换.反之，由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用,表示正三角形的对称变换群.,2023/6/26,其中(1)为恒等变换,(1 2),(1 3),(2
2、 3)分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(1 2 3),(1 3 2)分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转120度、240度的旋转变换.,2023/6/26,例 2 正方形的对称变换群.,正方形的四个顶点分别可用1、2、3、4来表示.于是正方形的每一对称变换可用一个4次置换来表示.显然，不同的对称变换所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对应了置换的乘积.这说明，正方形的对称变换群可用一置换群来表示.,2023/6/26,容易看出,正方形的对称变换有两类:,第一类:绕中心的分别旋转90度，180度，270度，360度的旋转，,这对应于置换,(1234)，(13)(24)，(143
3、2)，(1).,第二类:关于正方形的4条对称轴的反射,(1 2)(3 4)，(2 4)，(1 4)(2 3)，(2 4)，(1 3).,这对应于置换,所以,正方形的对称变换群有上述 8个元素.,这是四次对称群的一个子群.,2023/6/26,S(K)=(1),(1234),(13)(24),(1432),(14)(23),(12)(34),(24),(13),平面上正方形ABCD的对称变换群,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6/26,：,2023/6
4、/26,定理1,正n边形的对称变换群阶为2n.这种群称为2n 元二面体群.记为Dn,2023/6/26,D6,2023/6/26,二、置换类型,个2-循环，,个n-循环,组成，则称,型置换，,其中,例：,中,是一个,型置换,是一个,型置换,是一个,型置换,是一个,一个n次置换,，如果其循环置换分解式,是由,个1-循环，,2023/6/26,二面体群中的置换类型,二面体群,是一个n次置换群,的类型是,型，其中,当n是奇数时，都是,型的,当n是偶数时，有两种类型：,型和,型,2023/6/26,三、项链问题,问题的提法：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？,这里所说
5、的不同类型的项链，指两个,项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。,2023/6/26,数学上的确切描述,设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。,沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有n种选择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有nm种。,但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。,2023/6/26,设X=1，2，m,代表m颗珠子的集合，它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.,为n种颜色的集合.,则每一个
6、映射,代表一个有标号,的项链.,，它是全部有,令,标号项链的集合，显然有,，是全部有标号项链的数目.,2023/6/26,设,，其中,现在考虑二面体群,对集合,的作用：,2023/6/26,定义,则,，所以,.,对,的作用为,2023/6/26,其直观意义是，,对,的作用就是,使,对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而,与,是同一类型的,属于同一轨道.,与,因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同,类型项链数目就是,对,，可用Burnside引理求解.,作用下的轨道数目,2023/6/26,下一个关键问题是：,如何求,在,上的不动点数,的循环置换分解式可表为,对应式（1）中同一循环置换,（1
7、）,中的珠子有相同的颜色.,，这与,的置换类型有关.,是一个,型置换.,设,2023/6/26,例如，设,，则,故,是,的一个不动点.,2023/6/26,反之，若对应,，则,故,不是,的不动点.,的循环置换分解式中某个,循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如,2023/6/26,下面我们来进一步计算不动点数,而满足,的,，对应于,的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，,因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有,n种选择.,而,所含的循环置换个数为,所以满足条件,的项链颜色有,种选择,2023/6/26,故,将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为,其中和式是对,进一步表示为,其中,和式是
8、对所有可能的不同置换类型求和.,中每一个置换求和.,为同一类型的群元素个数，,2023/6/26,例,用3种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？,解,2023/6/26,按类型计算每一个群元素的不动点数：,型置换有1个，每一个元素的不动点数为,型置换有3个，每一个元素的不动点数为,型置换有4个，每一个元素的不动点数为,型置换有2个，每一个元素的不动点数为,型置换有2个，每一个元素的不动点数为,所以,.,2023/6/26,作业：,用黑白两种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链。问有多少种不同类型的项链？,1,2,3,4,5,(1)15 25,(12345)51 2,(13524)51,(14253)51,(15432)51,(25)(34)11 22 23,(13)(45)11 22,(15)(24)11 22,(14)(23)11 22,(12)(35)11 22,
