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1、4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示,一、力学量算符的矩阵表示二、量子力学公式的矩阵表示,4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示,量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程。上一节讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性，必须实现力学量算符与量子力学公式的矩阵表示。,在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任意力学量表象下的表示称为矩阵力学方法。在量子力学的历史上，上述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它们是等价的。,一、力学量算符的矩阵表示,力学量 满足的本征方程,力学量算符 满足,把波函数、分别向 展开,代入到算符方程中，得,上式两端做运
2、算，得,令,则,称为算符 在 表象中的矩阵元。,算符 在 表象中的矩阵形式为,因为 是厄米算符，所以它的矩阵元的复共轭为,即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者,它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。,特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。,算符在自身表象下是一个对角矩阵，并且本征值就是对角元素。它的阵迹就是全部本征值之和。,说明：,（1）欲求力学量 在 表象下的矩阵表示，必须知道力学量的本征解，才能计算 的矩阵元；,（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的矩阵元 一定是一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；,（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是
3、该算符的本征值不会改变；,（4）如果的本征值为连续谱，则,构成正交归一完备基矢组。,算符 满足,把波函数、分别向 展开,代入到算符方程中，得,上式两端做运算，得,其中，算符 的矩阵元,例1坐标表象中 的矩阵元为,其中，为变数，、为本征值。,例2动量表象中 的矩阵元为,或,例3动量表象中 的矩阵元为,例4求一维谐振子中，坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵表示。,解：,坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为,所以，它们的矩阵表示分别是,二、量子力学公式的矩阵表示,1算符方程,以下内容都是在 表象下进行的。,或简写为,2本征方程,或简写为,方程有非零解的充分必要条件是系数
4、行列式为零。,因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。,3薛定格方程,式中。上式简写为,4平均值公式,对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表象下，波函数及算符的矩阵元是不同的，但最后所得到的物理结果（力学量的可能取值、取值几率和平均值）却都是一样的。因为我们所关心的只是有物理意义的结果，所以，允许对表象作选择。如果选取了一个合适的表象，将使问题得到简化。这也就是表象理论的价值所在。,例5已知力学量 在某表象中的矩阵表示为，求它的本征值和归一化本征函数，并将 对角化。,解：,首先，求解本征值方程,下面求本征函数。,把波函数归一化,同理,最后，把矩阵对角化。,作 业4-2 4-5,
