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1、专题三 三角函数及解三角形第一讲 三角函数的概念及其图象与性质,一、主干知识1.三角函数定义：,y,x,2.同角三角函数之间的关系：(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.3.用五点法画yAsin(x)的简图：设zx，令z0，2，求出x的值与相应y的值，描点、连线可得,sin2+cos2=1,4.函数y=Asin(x+)(A0,0)中参数的物理意义:,A,x+,x=0,二、重要结论1.增减性,-+2k,2k(kZ),2k,+2k(kZ),(kZ),(kZ),(kZ),2.对称性,(k,0)(kZ),x=k(kZ),1.(2013北京高考改编)“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的条件
2、.【解析】当=时,y=sin(2x+)=sin(2x+)=-sin2x,此时曲线必过原点,但曲线过原点时,可以取其他值,如=0,因此“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的充分不必要条件.答案:充分不必要,2.(2013湖北高考改编)将函数y=cos x+sin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是_.【解析】由已知=当m=时，平移后函数为 其图象关于y轴对称，且此时m最小.答案：,3.(2012山东高考改编)函数y(0 x9)的最大值与最小值之和为_.【解析】令z因为0 x9，所以z所以 sin z1，则 y2，由此最大值与最小值之
3、和为2.答案：2,4.(2013江苏高考)函数y=的最小正周期为_.【解析】函数y=的最小正周期答案：,5.(2013南京模拟)将函数ysin x(0)的图象向左平移 个单位长度，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式为_.【解析】将函数ysin x(0)的图象向左平移 个单位长度，平移后的图象所对应的解析式为 由图象知，所以2.所以函数的解析式为答案：,热点考向 1 三角函数的定义及应用【典例1】(1)(2013广州模拟)已知点 落在角的终边上，且0,2)，则的值为_.(2)(2013玉溪模拟)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(3，y)是角终边上一点，且则y_
4、.(3)角速度为 的质点P，从点(1,0)出发，逆时针沿单位圆x2y21运动，经过17个时间单位后，点P的坐标是_.,【解题探究】(1)解答本题的关键是：正切函数的定义：_.确定角所在的象限依据：_.(2)本题根据已知信息可判断所在的象限为_，则y值的符号为_.(3)角速度指的是什么？提示：一个以弧度为单位的圆在单位时间内所走的弧度即为角速度.,第四象限,负,【解析】(1)又所以为第四象限角且0,2)，所以答案：,(2)因为sin 所以sin 解得y=6.答案:6,(3)经过17个单位时间，质点运动的弧度是，此时质点P在角 的终边上，即在 的终边上，根据三角函数的定义，此时该点的坐标是 即答案
5、：,【方法总结】与三角函数定义有关问题的求解思路(1)求三角函数值:单位圆法.第一：确定角的终边与单位圆的交点坐标(x,y)；第二：令x=cos,y=sin.定义法.设角的终边上任意一点的坐标为(x,y)，则cos=sin=,(2)利用三角函数的定义建模:由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立必然联系.,【变式训练】(2013太原模拟)平面直角坐标系中，圆O方程为x2+y2=1，直线y=2x与圆交于A,B两点，已知,的始边是x轴，终边分别为OA和OB，则cos(+)=_.【解析】由已知条件得=+2k+(kZ)，不妨设点A在x轴的
6、上方，则A的坐标为 所以cos=所以cos(+)=cos(+2k+)=cos 2=12cos2=答案：,热点考向 2 求函数y=Asin(x+)的解析式【典例2】(1)已知函数ysin(x)0，|的部分图象如图所示，则_，_.(1)题图(2)题图(2)如图是函数f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,|)图象的一部分，则f(x)的解析式为_.,【解题探究】(1)求，的思路：识图：两个关键点_.析点：_可以看作五点法作图时的第二个点，_可以看作五点法作图时的第三个点.求值：由周期确定的值，由_或_确定.,(2)解析式的解题途径：,(-,-1),(0,2),3,A和B,和,【解析】(1)因为 所
7、以T，所以又所以又|，所以答案：2,(2)由图可知又函数f(x)=2sin(x+)+1过点(-，-1)及(0，2)，所以即 又|，所以=，由图象知2T4，所以 1，所以=.所以函数的解析式是答案：,【方法总结】函数表达式y=Asin(x+)+B的确定方法,【变式训练】(2013四川高考改编)函数f(x)=2sin(x+)的部分图象如图所示，则,的值分别是_.【解析】根据题干图可知所以函数的周期为，可得=2，根据图象过 代入解析式，结合 可得=答案：2，,热点考向 3 函数y=Asin(x+)的图象变换【典例3】(1)(2013东北师大附中模拟)函数y的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各
8、点的横坐标缩短为原来的 倍，所得函数解析式为_.(2)(2013南京模拟)要得到y=的图象，则需函数 的图象向右平移至少_个单位长度.,【解题探究】(1)本题函数图象变换的两个步骤：平移：图象向右平移 个单位长度，即：_.伸缩：所有点的横坐标缩短为原来的.,(2)本题函数图象的平移的步骤：化简解析式：_.平移：由yf(x)平移得到yf(x)时，一般应将x化为_后，由 来确定平移量和平移方向.若 0，则右移 个单位；若 0，则左移 个单位,【解析】(1)将原函数向右平移 个单位长度，所得函数解析式为 再压缩横坐标得y答案：,(2)因为,而 的图象,因此，要得到 的图象，只需函数 的图象向右平移
9、个单位.答案：,【互动探究】若在题(2)条件不变的情况下，为了得到y=cos 2x的图象，只需 的图象如何变换？【解析】因为 所以 的图象 的图象.,【方法总结】1.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看yAsin(x)中的正负和它的平移要求(3)看移动单位：在函数yAsin(x)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以和之间有一定的关系，是初相，再经过的压缩，最后移动的单位是,2.三角函数图象平移变换的两种途径(1)y=sin x的图象 的图象 的图象y=
10、Asin(x+)(A0，0)的图象.(2)y=sin x的图象 y=sin x的图象 y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)(A0，0)的图象.,【变式备选】如图是函数y=Asin(x+)(xR)在区间 上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y=sin x(xR)的图象上所有的点向左平移_个单位长度，再把各点的横坐标_到原来的 倍，纵坐标不变.,【解析】由图象可知函数的周期为,振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+).代入 可得的一个值为,故图象中函数的一个表达式是,所以只需将y=sin x(xR)的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，
11、纵坐标不变.答案：缩短,热点考向 4 函数y=Asin(x+)的图象和性质的综合应用【典例4】已知函数f(x)的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的单调递增区间,【解题探究】(1)求a的解题思路：恒等变换：_.求出最值：将函数f(x)变为f(x)=Asin(x+)+B(A0)的形式，此时最大值为_.,A+B,(2)求函数f(x)=Asin(x+)的单调区间的方法：明确y=sin x的单调区间：单调递增区间_.单调递减区间_.求区间：求f(x)=Asin(x+)的单调递增区间，处理方式为_.,整体代入,【解析】(1)f(x)所以当 时，f(x)取得最大值21a3a
12、，又f(x)的最大值为2，所以3a2，即a1.f(x)的最小正周期,(2)由(1)得，f(x)所以得所以所以f(x)的单调递增区间为,【方法总结】求解函数y=Asin(x+)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)=Asin(x+)的形式.(2)整体意识：类比y=sin x的性质，只需将y=Asin(x+)中的“x+”看成y=sin x中的“x”，采用整体代入求解.令xk(kZ)，可求得对称轴方程令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0.,【变式
13、训练】设函数f(x)(sin xcos x)22cos2x(0)的最小正周期为(1)求的值.(2)若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象向右平移 个单位长度得到的，求yg(x)的单调增区间,【解析】(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2xcos 2x2依题意得 故.(2)依题意得g(x)由2k 3x 2k(kZ)解得：故g(x)的单调增区间为,数形结合思想解决三角函数的图象和性质问题【思想诠释】1.主要类型：(1)含有参数的方程的解的个数问题.(2)函数解析式中含有参数的最值问题.(3)特殊函数的周期问题.(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等
14、.,2.解题思路：根据方程的特征构造相应的函数，画出函数的图象，通过图象的交点确定方程解的个数及参数的取值范围或研究相应的函数的性质.3.注意事项：(1)在求解时应灵活结合三角函数的图象对上述问题进行合理的分析，需强调的是作图务必准确.(2)数形结合的思想是研究函数图象和性质的辅助工具，必要时要通过严格的运算，才能对相关问题下结论.,【典例】(2013青岛模拟)已知函数f(x)=的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向右平移 个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)+k=0在x 有且只有一个实数根，则k的取值范围是_.,【审题】分析信息，形成思路
15、切入点：相邻两条对称轴之间的距离为，求f(x)中的，由平移变换求g(x)的解析式；关注点：求k的取值范围，利用数形结合法.,【解题】规范步骤，水到渠成因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，结合三角函数的图象可知又所以=2，f(x)=将f(x)的图象向右平移 个单位得到f(x)=再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到,所以方程为sin(2x)+k=0.令2x=t，因为x0,，所以 t.若g(x)+k=0在x0,有且只有一个实数根，即g(t)=sin t与y=k在,有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知 k 或k=1，即 k 或k=1.答案：k 或k=1,【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移1.函数y=的最小正周期是_.【解析】对于函数y=是函数y=sin 在x轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图所示，故T=T=2.答案：2,2.函数y=sin x和y=tan x的图象在-2，2上交点有个_.【解析】图象法，在同一坐标系内画y=sin x与y=tan x在0，2上的图象，由图知共有5个交点.答案：5,3.已知f(x)=在x 上有两个不同的零点，则m的取值范围为_.【解析】函数f(x)=在x 上有两个不同的零点，等价于方程m=在区间 上有两解.作出如图的图象，由于右端点的坐标是(,1),由图可知，m1,2).答案：1,2),
