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1、,振动力学,-弹性体的振动,梁的横向振动,仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。,1、运动微分方程,在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。,取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。,则微段梁dx沿z方向的运动方程为：,即,利用材料力学中的关系,得到梁的弯曲振动方程,边界条件,和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。梁的每一端必须给出
2、两个边界条件(以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为0，即,（2）简支端：挠度和弯矩为0，即,（3）自由端：弯矩和剪力为0，即,其它边界条件用类似的方法给出。,2、梁弯曲自由振动的解,令振动方程中的干扰力为0，得到,对于均匀梁，振动方程为,其中,假定有分离变量形式的解存在，令,代入方程得到,写为,则有,其中,（称为特征方程）,方程的通解为,由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。,【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。,代入特征方程的解,以及,解：边界条件为挠度和弯矩为0。,得到,以及,则
3、,则,以及频率方程,由此解得,所以固有频率,振型为,第i阶振型有i1个节点。节点坐标,即,【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。,代入特征方程的解得到,以及,解：边界条件为挠度和转角为0，即,化简后得到频率方程,求得,求出b后得到固有频率,振型为,【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。,解：左端的边界条件为挠度和转角为0,解：左端的边界条件为挠度和转角为0,右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力,代入特征方程的解,以及,进一步化简后得到频率方程,求出b后得到固有频率,振型为,将边界条件代入得到,求得,讨论：（1）k0时，频率方程变为,即为悬臂梁
4、的情况。,（2）k趋于无穷大时，频率方程变为,或,即为左端固定，右端简支的情况。,【思考题】证明图示悬臂梁在xl处的边界条件为：,关于振型函数的正交性,和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足,考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则,对第j阶振型进行上面类似的运算得：,用Fj左乘上式两端，并积分,上两式相减得,则,ij时,梁在激励力作用下的响应,和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应,1.标准坐标（正则坐标）对振型函数按下式条件正则化,2.对初始激励的响应 设初始条件为,将其按标准振型展开,用rAFj左乘上两式，并积分得,标准坐标下的初始激励响应,物
5、理坐标下的响应,响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。,【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在xx1处的微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。,解：（1）固有频率与相应的固有振型为,（2）由正规化条件 确定系数Ci,求得,所以,（3）初始条件。按题意,变换到主坐标下,3.对外激励的响应（1）分布干扰力 设干扰力密度为f(x,t),和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到标准坐标下的解耦方程,利用杜哈美积分得,（
6、4）响应,总响应为,（2）集中力 设在xx1处受集中力F(t),这时可以用函数表示为分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程变为,总响应为,（3）集中力偶（不推导，只给出结果）设在xx1处受集中力M(t),这时有,总响应为,强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。,解：（1）固有频率与相应的固有振型为,（2）由正规化条件 确定系数Ci,【例5】设长为l的简支梁在xa处受集中力Fsint作用,求响应。,求得,（3）响应,【例6】火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重P的作用。假设在初始时刻荷重位于梁的左端，试求强迫振动的响应。,解：（1）均匀简支梁的固有频率与相应的固有振型为,（2）和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到,（3）干扰力密度可表为,（4）主坐标下的响应,其中,（5）广义坐标下的响应,固有频率的结构特性,系统参数的变化与增加约束对固有频率的影响：（1）增大刚度、增加约束，固有频率提高;（2）增大质量，固有频率降低;（3）在某阶固有振型取值最大的地方增大质量，能最有效地降低该阶固有频率;（4）在某阶振型曲线曲率最大的地方增大刚度，能最有效地提高该阶固有频率。,
