《数量值函数的积分学.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数量值函数的积分学.ppt（177页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第九章 数量值函数的积分学 9.1 二重积分的概念及性质 9.2 二重积分的计算 9.3 三重积分及其计算 9.4 第一型（对弧长）曲线积分 9.5 第一型（对面积）曲面积分 9.6 数量值函数积分学的应用,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,1.曲顶柱体的体积,问题的提出,一.二重积分的定义,9.1 二重积分的概念及性质,曲顶柱体.,特点：平顶.,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近
2、似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示,返回,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，如下动画演示,(3)曲顶柱体的体积:,曲顶柱体的体积为:,步骤如下,2.求平面薄板的质量,(3)薄板的总质量：,定义,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,积分号,用平行于坐标轴的直线网来划分区域，,故二重积分可写为,二重积分的几何意义：,物理意义：,平面薄板的质量,二.二重积分的性质,性质1,性质 2,性质 3,（积分区域的可加性）,性质 4,性质 5,（不等式性质）,性质 6,（估值定理
3、）,证,证毕,性质 7,（中值定理）,中值公式.,证,证毕,性质8,(对称性),解,由性质 6 得,解,由性质 6 得,解,解,解,（1）积分区域如图所示,解,积分区域如图所示，,解,9.2 二重积分的计算,直角坐标系下二重积分的计算,一.化二重积分为二次积分,其中函数、在区间 上连续.,是平行于 y 轴的直线部分除外）,的特点：,如果积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,的特点：,是平行于 轴的直线部分除外）,同理,如果积分区域为：,二重积分在直角坐标下的计算公式,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式:,则必须分割.,解,解,解,注:,化二重积分为二次积分,既要根据积分区域
4、的形状,又要注意被积函数的特点选择简便易算的积分次序.,画出积分区域的草图往往有助于做出正确的选择.,要改变积分次序！,解,解,解,例6,解,曲面围成的立体如图：,例,证,二.二重积分的变量代换,1.极坐标变换,在极坐标下二重积分化为二次积分的公式:,(1)极点位于积分区域,极坐标系下区域的面积,解,注:,解,解,解,解 设,例4,求概率积分,解,2.二重积分的一般变量代换,（证明略）,解,证,证毕,解,（第一卦 限部分）,9.3 三重积分及其计算,问题的提出,设有非均匀物体占有空间区域,其上各点(x,y,z)处的密度为连续函数 f(x,y,z),求该物体的质量.,求空间非均匀物体的质量.,定
5、义,三重积分的物理意义：空间物体的质量,1.在直角坐标系下计算三重积分,三重积分的计算,化三重积分为三次积分,根据三重积分的物理意义,用微元法：,先一后二法,解,解,若,则,先 x 后 y z 的积分次序,若,则,先 y 后 xz 的积分次序,解,先二后一法（坐标轴投影法、截面法）的一般步骤：,即,用微元法：,故,注：当 比较简单，f(x,y,z)=f(z)时，,先二后一法,用这种方法计算比较简便.,先二后一法,先一后二法,解2,解1,计算很繁！,解,先二后一法,2.在柱面坐标系下三重积分的计算,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三个坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面
6、坐标系中的体积元素为,体积元素：,一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或者扇形域,被积函数含有式子 x2+y2 时,用柱面坐标变换计算三重积分比较简单.,解,知交线为,解,解,3.在球面坐标系下三重积分的计算,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标系中的体积元素:,解,解,注:,解,作变换：,称为广义球面坐标变换.,4.利用对称性化简三重积分的计算,使用对称性时应注意：,.积分区域关于坐标面的对称性；,.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇,偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,由对称性知,交线为,例15,解,被积函数是 的偶函数,（北
7、京大学2001年考研题）,实例:求非均匀曲线形物体的质量,均匀曲线形物体的质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,9.4 第一型（对弧长）曲线积分,问题的提出,近似代替,定义,推广：,注意：,第一型曲线积分的物理意义：,几何意义：,第一型曲线积分的性质：,即：第一型曲线积分与曲线 L 的方向无关.,定理,注意:,把第一型曲线积分化为定积分计算时，,证明略,特殊情形:,推广:,例1,解,解,例3,解,解,例5,解,由坐标的轮换对称性,知,9.5 第一型（对面积）曲面积分,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,问题的提出,定义,当积分曲面是封闭曲面时,常记,第一型曲面积分的物理意义:曲面的质量,第一型曲面积分有如定积分类似的性质,从略.,第一型曲面积分的计算,定理,证明略,则,则,类似地：,解,例1,解,解,其中,例4,解,例5,解,解,在计算第一型曲面积分时，要充分利用被积函数定义在积分曲面上，,数的奇偶性等特点简化积分计算.,积分曲面的对称性及被积函,例6,9.6 数量值函数积分学的应用,一.几何应用,解,解,解,先二后一法,二.质量,三.质量重心,重心,解,解,四.转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,解,解,五.引力,立体对单位质点 的引力为,为引力常数.,先二后一法,
