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1、1,学时：4,第十五章 电路方程的矩阵形式,2,15.1 割集15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.3*矩阵A、B、Q之间的关系15.4 回路电流方程的矩阵形式15.5 结点电压方程的矩阵形式15.6 割集电压方程的矩阵形式15.7*列表法15.8 状态方程,内容,3,要求,理解关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵概念；,掌握结点电压方程的矩阵形式；,了解回路电流方程和割集电压方程的矩阵形式；,了解状态变量、状态方程的概念，会建立简单状态方程。,4,1 割集,1.线图：若将电路的每一元件用一线段来代替，线段的端点称为节点，这样就得到由线段与节点组成的图形，这种图形称为网络拓朴图或线图，简称为图。
2、,2.有向图、无向图,若对图中的每条支路规定方向，所得到的图称为有向图；反之称为无向图。,3.平面图、非平面图,一个图画在平面上，各支路除了所连接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图，反之称为非平面图。,一.有关图的基本定义与概念,5,4.子图：若图G1的每一个节点和支路都是图G的节点与支路，则称G1为G的子图。,5.树、树支、连支：不包含回路但包含图的所有节点的连通的子图称为树。组成树的支路称为树支，其余支路称为连支。一个有n个节点、b条支路的连通图，将有(n-1)条树支，(b-n+1)条连支。,6.回路与基本回路,由支路和节点构成的闭合路径，称为回路。只含一个连支的回路称为基本回路或单连支
3、回路。,6,7.割集,8.独立割集,一个割集是连通图的一个支路集合；这些支路全部移去时连通图分为两部分；仅留一条支路时图仍是连通的。,由于KCL适用于任何一个闭合面，因此属于同一割集的所有支路电流应满足KCL。对于一个连通图，可列出与割集数相等的KCL方程，但并非都是独立的。对应于一组独立的KCL方程的割集称为独立割集。,下图中，adf，aeb，bcf，cde，bdef，aecf，abcd等7种割集，adef、abcde不是割集。,7,9.基本割集,只含一个树支的割集称为基本割集，也称为单树支割集。,对于一个具有n个结点b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，因此将有(n-1)个单树支割集，即
4、(n-1)个基本割集。,例如：选定树(cde)连支(abf)三个基本割集：adf，aeb，bcf 为一个基本割集组，可以作为一组独立割集。,基本割集组是独立割集组，对于n个结点的连通图，独立割集数为(n-1)。但独立割集不一定是单树支割集。,8,10.割集的方向,移取一个割集的所有支路时，连通图分为两部分，从其中一部分指向另一部分的方向。每一个割集只有两个可能的方向。,9,2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,对任一具有n个结点、b条支路的有向图，节点与支路的关联性质可用一个(nb)阶的矩阵Aa表示。即,一.关联矩阵A,Aa=aijn b,它的行对应于节点，列对应于支路。,aij=1 有向支路 j
5、与节点 i关联且背离 i 节点,aij=-1 有向支路 j与节点 i关联且指向 i 节点,aij=0 j 支路与i节点无关,1.关联矩阵Aa的含义及列写,10,1 0 0-1 0 1,-1-1 0 0 1 0,0 1 1 0 0-1,0 0-1 1-1 0,Aa的每一列对应于一条支路。由于一条支路连接于两个节点，若离开一个节点，则必须指向另一个节点，因此每一列中只有两个非零元素，即+1和-1。把所有行的元素相加就得一行全为零的元素，所以Aa的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出。因此，若由矩阵Aa中划出任一行，剩下(n-1)b阶矩阵称为降阶关联矩阵，简称为关联矩阵，用A
6、表示。被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。,2.降阶关联矩阵A,11,1 0 0-1 0 1,-1-1 0 0 1 0,0 1 1 0 0-1,0 0-1 1-1 0,1-1 0 0,0-1 1 0,0 0 1-1,-1 0 0 1,0 1 0-1,1 0-1 0,设为参考节点,称A为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质,12,设:,支路电压,支路电流,节点电压,3.矩阵形式的KCL,13,故有,Ai=,A i=0,-矩阵形式的KCL,14,4.支路电压与结点电压的关系(矩阵形式的KVL),15,二.基本回路矩阵B,2.支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。,1 支路j
7、在回路i中且与回路i关联，方向一致,-1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反,0 支路j 不在回路i中,约定：1.回路电流的参考方向取连支电流方向。,用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质,B=b i j l b,1.回路矩阵B的含义及列写,16,选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。,1-1 0 1 0 0,1-1 1 0 1 0,=Bt 1l,0 1-1 0 0 1,17,设,2.回路矩阵形式的KVL,1-1 0 1 0 0,1-1 1 0 1 0,0 1-1 0 0 1,18,2.回路矩阵形式的KVL,B u=,故有：,B u=0,-KVL的回路矩阵形式,19,3.支路电流与独
8、立回路电流的关系(回路矩阵形式的KCL),i=BTil,由于矩阵B的每一列，也就是BT的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以有：,=,=,20,三.基本割集矩阵Q,约定(1)割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。,1 j支路在割集i中且与割集i方向一致,-1 j支路在割集i中且与割集i方向相反,0 j 支路不在割集i中,用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质,Q=q i j n-1 b,1.基本割集矩阵的含义与列写,21,1 0 0-1-1 0,0 1 0 1 1-1,图示连通图的基本割集为：,0 0 1 0-1 1,C1:1,2,4 C2:1,2,3
9、,5 C3:2,3,6,基本割集的方向与与树支方向一致.,基本割集矩阵为：,=1l Ql,22,设 支路电流,Qi=0矩阵形式的KCL。,Qi=,2.割集矩阵形式的KCL,=,=0,23,树支电压用列向量表示：,QTut=u,3.支路电压与树支电压的关系(割集矩阵形式的KVL),-矩阵形式的KVL。,ut=,由于Q的每一列，也就是QT的每一行，表示一条支路与割集关联情况，则矩阵相乘的规则可得：,由于通常选单树支割集(基本割集)为独立割集，因此树支电压又 可视为割集电压，故ut也可称为割集电压列向量。,24,QTut=u,3.支路电压与树支电压的关系(割集矩阵形式的KVL),矩阵形式的KVL：,
10、对图示的有向图，有,25,Q,Qi=0,QTut=u,小结：,A,B,Ai=0,BTil=i,ATun=u,Bu=0,26,1.方程的两种约束,1)支路约束-支路方程,2)支路间约束-支路间KCL、KVL约束（用回路矩阵表示）,4 回路电流方程的矩阵形式,27,2.支路模式,由于支路的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支路的模式。,规定每个支路必须有一个阻抗,28,3.矩阵形式的支路约束,k支路电压、电流关系：,设,Z=diagZ1 Z2 Zb,Y=diagY1 Y2 Yb,Z=Y-1,29,即,对整个电路有：,Z为支路的阻抗矩阵，是一个对角阵。,30,4.矩阵形式的回路电流方程,ZL-
11、回路阻抗矩阵，是一个l 阶方阵，主对角元素为自阻抗，非主对角为互阻抗。,设回路电流为未知量,支路方程：,KVL：,KCL：,将支路方程代入KVL：,将KCL代入上式得：,回路方程矩阵形式,31,1.支路约束,5 节点电压方程的矩阵形式,k支路电压、电流关系：,32,支路方程的矩阵方程,Y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。,33,2.矩阵形式的节点电压方程,设节点电压为未知量,支路方程：,由KCL A i=0,由KVL u=ATun,节点导纳阵,则,由此求得支路电压和电流,节点电压方程矩阵形式,34,例,1.画有向图,2.,3.,1,2,3,4,5,6,35,4.,5.,6.,得,36,6 割集
12、电压方程的矩阵形式,支路方程的矩阵方程,取割集（树支）电压为未知量,割集导纳阵,KCL,KVL,割集方程矩阵形式,37,8 状态方程,1.状态：在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的状态。,2.状态变量：是电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成该时刻的状态。例如，动态电路中电容电压uC和电感电流iL就是电路的状态变量。,3.状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程。,一.基本概念,38,以电容电压uC和电感电流iL作为变量列上述电路的方程，则：,二.RLC串联电路的状态方程,用矩阵形式表示：,经
13、调整有：,39,若令,则有：,式中：,若令：,则有：,状态方程的标准形式,x称为状态向量，v称为输入向量。状态方程也称为向量微分方程。,n nn nm m,40,选所有独立电容电压与独立电感电流作为状态变量。对每个独立电容列写只含此独立电容电压的一阶导数在内的节点KCL方程；对每个独立电感列写只含此独立电感电流的一阶导数在内的回路KVL方程。消去第二步所列方程中的非状态变量，然后把状态变量的一阶导数移向方程左边，整理化简为标准矩阵形式。,三.状态方程的直观列写步骤,41,以uC、i1、i2为状态变量。,例：列写图示电路的状态方程,解：,选节点和回路如图示。,对节点 列出KCL方程：,对回路1和回路2列出KVL方程：,42,整理方程并写成矩阵形式：,例：列写图示电路的状态方程,解：,43,作 业：,15-1，15-2，15-3,
