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1、电路,第十五章 电路方程的矩阵形式 8 学时15-1 15-2 15-4 15-5,第十五章 电路方程的矩阵形式,主要内容：本章主要介绍电路方程的矩阵形式。在图的基础上介绍几个重要矩阵：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵，并导出用这些矩阵表示的KCL、KVL方程。导出回路电流(网孔电流)方程、结点电压方程的矩阵形式。,15-1 割 集,第三章介绍过电路分析方法，如回路电流法和结点电压法等。当电路规模小，结构简单时，不难由人工观察法列出。实际工程应用中，电路规模大，结构复杂。为便于用计算机辅助电路分析，有必要研究系统化建立电路方程的方法，为便于用计算机求解方程，要求方程用矩阵形式表示。本章介绍电路方程
2、矩阵形式及其系统建立法，是电路计算机辅助设计和分析所需基本知识。,15-1 割 集-0,割 集-1,第三章介绍图的定义及有关回路、树等基本概念。这里补充介绍割集概念，及与树有关的基本割集组。连通图G的一个割集：是G的一个支路集合，把这些支路移去将使G分离为两个部分，但如少移去一条支路，图仍连通。,15-1 割 集-1,如图15-1a连通图G中，支路集合Q1至Q7都是G的割集，即(a，d，f)，(a，b，e)，(b，c，f)，(c，d，e)，(b，d，e，f)，(a，e，c，f)和(a，b，c，d)；而(a，d，e，f)和(a，b，c，d，e)不是G的割集，因(a，d，e，f)若少移一支路，G仍
3、被分为两部分；而(a，b，c，d，e)若移去支路，G被分成三部分。,15-1 割 集-2,一般在连通图G上作闭合面判断确定一个割集。在G上作一闭合面，使其包围G某些结点，把闭合面相切割所有支路全部移去，G被分离为两部分，这样一组支路构成一个割集。图15-1，示出闭合面(用蓝虚线)与割集支路相切割情况。,15-1 割 集-3,独立割集,KCL适用于任何一个闭合面，属同一割集所有支路的电流应满足KCL。当一个割集所有支路连接在同一结点，如图15-1的Q1、Q2、Q3和Q4，则割集KCL方程变为结点上KCL方程。对于连通图，总共可列出与割集数相等数目的KCL方程，但这些方程并非都是线性独立的。对应于
4、一组线性独立的KCL方程的割集称独立割集。现在介绍借助于“树”确定一组独立割集方法。,15-1 割 集-4,单树支割集或基本割集-1,一个连通图，任选一树，与树对应连支集合不能构成一个割集，每一树支与一些相应连支可构成一个割集。例：图15-2连通图G，选一树T，树支和连支分别用实线和虚线表示，把全部连支移去，剩下树仍连通，即连支集合不能构成一个割集。,15-1 割 集-5,单树支割集或基本割集-2,另外，树是连接全部结点所需最少支路集合，移去任一树支如bt，连接T1和T2的那些连支l1、l2、和l3与bt一起必构成一个割集，因移去后，G将分离为两部分。同理，每一树支都可与相应一些连支构成割集。
5、由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。,15-1 割 集-6,基本割集组,一个n结点b支路连通图，树支为(n-1)，有(n-1)个单树支割集，称基本割集组，是独立割集组。即n结点连通图，独立割集数为(n-1)。但独立割集不一定是单树支割集。一个连通图G可有不同树，可选许多基本割集组。图15-3a，若选支路(2、3、4、6)为树支，基本割集组为：Q1(2、1、5、7、8)，Q2(3、1、5、8)，Q3(4、1、5)，Q4(6，5，7，8)。,15-1 割 集-7,基本割集组,15-1 割 集-7,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,电路图中每一支路赋予参考方向，成
6、为有向图。有向图拓扑性质可用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。设一支路连接某两个结点，称该支路与这两个结点相关联。支路与结点关联性质可用关联矩阵描述。设有向图结点数n，支路数b，结点与支路均编号。该有向图的关联矩阵为一个(nb)阶矩阵，用Aa表示。行对应结点，列对应支路，任一元素ajk定义如下：ajk=+1，表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点；ajk=-1，表示支路k与结点j关联并且它指向结点；ajk=0，表示支路k与结点j无关联。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-0,关联矩阵-1,例：图15-4有向图，它的关联矩阵是Aa每一列对应一条支路。一支路连接两结点，离开一结点，必指向
7、另一结点，每一列中只有两个非零元素，即+1和-1。把所有行元素按列相加得一行全为零元素，Aa的行不独立。或者说按Aa的每一列只有+1和-1两个非零元素这一特点，Aa中任一行必能从其他(n-1)行导出。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-1,降阶关联矩阵,如把Aa任一行划去，剩下(n-1)b矩阵用A表示，并称降阶关联矩阵(今后主要用降阶关联矩阵，往往略去“降阶”)。例：把式(15-1)中第4行划去，得矩阵A的某些列将只具有一个+1或一个-1，每一个这样的列必对应于与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应结点可当作参考结点。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-2,矩阵A表示的KCL的
8、矩阵形式,电路中b个支路电流可用一b阶列向量表示，即i i1 i2 ib T用矩阵A左乘电流列向量，乘积是(n-1)阶列向量，由矩阵相乘规则知，每一元素即为关联到对应结点各支路电流代数和，即因此，有Ai0(15-2)式(15-2)是用矩阵A表示的KCL的矩阵形式。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-3,KCL的矩阵形式（例）,例：图15-4有,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-4,用矩阵A表示的KVL矩阵形式-1,电路中b个支路电压可用b阶列向量表示，即u=u1 u2 ub T(n-1)个结点电压可用一(n-1)阶列向量表示，即un un1 un2 un(n-1)T由于矩阵A每一列
9、，即矩阵AT每一行，表示每一对应支路与结点的关联情况，有uATun(15-3),15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-5,用矩阵A表示的KVL矩阵形式-2,例：图15-4有,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-6,用矩阵A表示的KVL矩阵形式-3,uATun(15-3)可见式(15-3)表明：电路中各支路电压可用与该支路关联的两个结点的结点电压(参考结点的结点电压为零)表示，正是结点电压法的基本思想。可认为该式是用矩阵A表示的KVL矩阵形式。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-7,回路矩阵-1,设一回路由某些支路组成，称支路与该回路关联。支路与回路关联性质可用回路矩阵描述。下面介绍
10、独立回路矩阵，简称回路矩阵。设有向图独立回路数为l，支路数为b，所有独立回路和支路均编号，该有向图回路矩阵是一个lb矩阵，用B表示。B的行对应一个回路，列对应于支路，任一元素bjk定义如下：bjk+1，表示支路k与回路j关联，且它们的方向一致；bjk-1，表示支路k与回路j关联，且它们的方向相反；bjk0，表示支路k与回路j无关联。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-8,回路矩阵-2,例：图15-5a独立回路数等于3。选一组独立回路图15-5b，对应回路矩阵为,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-9,回路矩阵-3,如所选独立回路组对应一个树的单连支回路组，称基本回路矩阵，用Bf表示。
11、写Bf时，注意其行列次序如下：把l条连支依次排列在对应于Bf的第1至第l列，然后再排列树支；取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，且以该连支的方向为对应的回路的绕行方向，Bf中出现一个l阶的单位子矩阵，即Bf1l|Bt(15-4)式中下标l和t分别表示与连支和树支对应部分。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-10,例：图15-5a，选支路3、5、6为树支，则1、2、4为连支，图15-5b示一组单连支回路，可写成基本回路矩阵形式：,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-11,回路矩阵-4,用矩阵B表示的KVL的矩阵形式-1,回路矩阵左乘支路电压列向量，乘积是一个l阶列向量。矩阵B
12、每一行表示每一对应回路与支路关联情况，乘积列向量中每一元素将等于每一对应回路中各支路电压代数和，即故有Bu0(15-5)式15-5是用矩阵B表示的KVL的矩阵形式。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-12,用矩阵B表示的KVL的矩阵形式-2,例：图15-5a，选15-5b所示一组独立回路，有,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-13,用矩阵B表示的KCL矩阵形式-1,l个独立回路电流可用一个l阶列向量表示，即il il1 il2 ill T由于矩阵B的每一列，也就是矩阵BT的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规则可知支路电流i：iBTil(15-6),15-2
13、 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-14,用矩阵B表示的KCL矩阵形式-2,例：图15-5a有,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-15,用矩阵B表示的KCL矩阵形式-3,iBTil(15-6)式15-6表明电路中各支路电流可用与该支路关联的所有回路中的回路电流表示，这正是回路电流法的基本思想。可认为该式是用矩阵B表示的KCL矩阵形式。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-16,割集矩阵-1,设一个割集由某些支路构成，称这些支路与该割集关联。支路与割集关联性质可用割集矩阵描述。仅介绍独立割集矩阵，简称割集矩阵。设有向图结点数为n，支路数为b，则独立割集数为(n-1)。每个割集编号，指定一个
14、割集方向(移去割集所有支路，G分离为两部分后，从其中一部分指向另一部分方向，即为割集方向，每一割集只有两个可能方向)。割集矩阵为一个(n-1)b矩阵，用Q表示。Q的行对应割集，列对应支路，任一元素qjk定义如下：qjk+1，表示支路k与割集j关联并且具有同一方向；qjk-1，表示支路k与割集j关联但是它们的方向相反；qjk0，表示支路k与割集j无关联。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-17,割集矩阵-2,例：图15-6a独立割集数等于3。选一组独立割集图15-6b，对应割集矩阵为,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-18,基本割集矩阵-1,如选一组单树支割集为一组独立割集，称基本割
15、集矩阵，用Qf表示。写Qf时，注意安排其行列如下：把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1至第(n-1)列，然后排列连支，再取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同，且选割集方向与相应树支方向一致，则Qf有如下形式Qf1t|Ql(15-7)式中下标t和l分别表示对应于树支和连支部分,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-19,基本割集矩阵-2,例：图15-6a有向图，选支路3、5、6为树支，一组单树支割集图15-6b,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-20,用矩阵Q表示的KCL的矩阵形式-1,前面介绍割集概念时指出，属一个割集所有支路电流代数和等于零。根据割集矩阵定义和矩阵
16、乘法规则得Qi0(15-9)式(15-9)是用矩阵Q表示的KCL的矩阵形式。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-21,用矩阵Q表示的KCL的矩阵形式-2,例：图15-6a，选图b一组独立割集，则有,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-22,用矩阵Qf表示的KVL的矩阵形式-1,电路中(n-1)个树支电压可用(n-1)阶列向量表示，即ut ut1 ut2 ut(n-1)T通常选单树支割集为独立割集，树支电压可视为对应割集电压，ut是基本割集组的割集电压列向量。Qf每一列，即QfT每一行，表示一条支路与割集关联情况，可得uQfTut(15-10)式15-10是用矩阵Qf表示的KVL的矩阵
17、形式。,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-23,用矩阵Qf表示的KVL的矩阵形式-2,例：图15-6a，选支路3、5、6为树支，Qf如式15-8，有 u=u3 u5 u6 u1 u2 u4 T而,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-24,割集电压,uQfTut(15-10)式15-10表明支路电压可用树支电压(割集电压)表示，是后面将介绍割集电压法基本思想。式(15-2)和式(15-3)分别与式(15-9)和式(15-10)在形式上相似。对某些图有QfA,15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵-25,15-4 回路电流方程的矩阵形式,第三章介绍网孔电流法和回路电流法。以网孔电流和回路
18、电流作为电路独立变量，用KVL列出足够电路方程。由于描述支路与回路关联性质的是回路矩阵B，所以用B表示的KCL和KVL推导回路电流方程矩阵形式。首先设回路电流列向量为i1，有：KCL iBTi1 KVL Bu0,15-4 回路电流方程的矩阵形式-0,复合支路,列矩阵形式电路方程时，必须有一组支路约束方程。需规定一条支路结构和内容。目前电路理论中没有统一规定，可采用“复合支路”图15-7，和 表示独立电压源和独立电流源，Zk(或Yk)为编程序规定只能是单一电阻、电感或电容，不能是其组合，即复合支路中允许缺少某些元件(回路电流法不允许存在无伴电流源)。另外用运算法时，可用相应运算形式。,15-4
19、回路电流方程的矩阵形式-1,1电路中电感之间无耦合（1）,对第k条支路有设：为支路电流列向量；为支路电压列向量；为支路电流源的电流列向量；为支路电压源的电压列向量。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-2,1电路中电感之间无耦合（2）,整个电路有即式中Z称支路阻抗矩阵，是对角阵。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-3,2电路中电感之间有耦合(1),式(15-11)应计及互感电压作用。设第1支路至第g支路间有耦合，则：式中所有互感电压前取“+”号或“-”号决定于各电感的同名端和电流、电压的参考方向。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-4,2电路中电感之间有耦合(2),其次注意M12M21等；其余支
20、路之间由于无耦合，故得这样，支路电压与支路电流之间的关系可用下列矩阵形式表示,15-4 回路电流方程的矩阵形式-5,2电路中电感之间有耦合(3),写成 式中Z为支路阻抗矩阵，主对角线元素为各支路阻抗，非对角线元素是相应支路间互感阻抗，Z不再是对角阵。方程形式与式(15-12)一样。为导出回路电流方程矩阵形式，重写3组方程：KCL KVL 支路方程,15-4 回路电流方程的矩阵形式-6,2电路中电感之间有耦合(4),支路方程代入KVL得：再代入KCL得式(15-13)即回路电流方程矩阵形式。由于乘积BZ行、列数分别为l和b，乘积(BZ)BT行、列数均为l，BZBT是一个l阶方阵。同理乘积 和 都
21、是l阶列向量。如设 是一个l阶方阵，称回路阻抗矩阵，主对角元素为自阻抗，非主对角元素为互阻抗。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-7,电路中含与无源元件串联受控电压源,电路中含与无源元件串联受控电压源(控制量可以是另一支路无源元件电压或电流)时，复合支路如图15-8。支路方程矩阵形式仍为式(15-12)，只是其中支路阻抗矩阵内容不同。Z非主对角元素可能是与受控电压源控制系数有关元素。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-8,例15-1(1),电路15-9a。用矩阵形式列出电路回路电流方程。解 作有向图，选支路1、2、5为树支。两个单连支回路1、2图b，有：,15-4 回路电流方程的矩阵形式-9,
22、例15-1(2),上式各矩阵代入式(15-13)得回路电流方程矩阵形式选网孔为一组独立回路，回路电流方程即网孔电流方程。例15-1就属这种情况。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-10,编写回路电流方程须选一组独立回路，一般用基本回路组，通过选择一个合适的树处理。树的选择可在计算机上按编好程序自动进行，但比之结点电压法，显得麻烦。实际复杂电路，独立结点数往往少于独立回路数，再加其他原因，目前在计算机辅助分析程序(如电力系统潮流计算，电子电路分析等)，广泛采用结点法，不采用回路法。,15-4 回路电流方程的矩阵形式-11,15-5 结点电压方程的矩阵形式,结点电压法以结点电压为独立变量，用KCL
23、列独立方程。描述支路与结点关联性质是矩阵A，用A表示KCL和KVL推导结点电压方程矩阵形式。设结点电压列向量为un，按式15-3有uATun 表示un与支路电压列向量u关系。还需用矩阵A表示的KCL，即Ai0(式中i为支路电流列向量)作导出结点电压方程依据。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-0,复合支路,结点电压法用图15-10复合支路(不许存在受控电压源，不许存在无伴电压源支路)，与图15-7比，图15-10仅增加受控电流源。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-1,1 电路中无受控电流源,电路中无受控电流源(即)，电感间无耦合时，对于第k条支路有对整个电路有式中Y称支路导纳矩阵，是一个对角
24、阵。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-2,2 电路中无受控源，电感间有耦合,式(15-14)应计及互感电压影响。当电感间有耦合，支路阻抗矩阵Z主对角线元素为各支路阻抗，非对角线元素是相应支路间互感阻抗。令YZ-1，由得或形式与式(15-15)相同，差别是Y不是对角阵。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-3,3 电路含受控电流源-1,设第k支路中有受控电流源并受第j支路中无源元件上的电压 或电流 控制，如图15-11，其中 或对第k支路有VCCS时：CCCS时：,15-4 结点电压方程的矩阵形式-4,3 电路含受控电流源-2,有式中即此时支路方程在形式上仍与情况1相同，只是矩阵Y内容不同。注意
25、Y不再是对角阵。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-5,结点电压方程的矩阵形式,为导出结点电压方程矩阵形式，重写3组方程：KCL：KVL：支路方程把支路方程代入KCL可得：再把KVL代入便得式(15-16)即结点电压方程的矩阵形式。由于乘积AY行和列数分别为(n-1)和b，乘积(AY)AT行和列数都是(n-1)，乘积AYAT是(n-1)阶方阵。乘积 和 都是(n-1)阶列向量。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-6,结点导纳矩阵和注入电流,设 则式(15-16)可写为Yn称结点导纳矩阵，其元素相当于第三章中结点电压方程等号左边系数；为由独立电源引起的注入结点电流列向量，其元素相当于第三章中结点
26、电压方程等号右边常数项。,15-4 结点电压方程的矩阵形式-7,例15-2（1）,电路15-12a，元件数字下标代表支路编号。列电路结点电压方程(矩阵形式)。解 作电路有向图b。选为参考结点，关联矩阵为电压源列向量：电流源列向量：支路导纳矩阵：,15-4 结点电压方程的矩阵形式-8,例15-2（2）,结点电压方程为即,15-4 结点电压方程的矩阵形式-9,例15-3(1),电路图15-13a，元件下标代表支路编号，b是有向图。设 写出支路方程矩阵形式。解 支路导纳矩阵(注意g21和46位置)为,15-4 结点电压方程的矩阵形式-10,例15-3(2),电流源、电压源向量：支路方程的矩阵形式为,
27、15-4 结点电压方程的矩阵形式-11,第十五章 重点概念-1,15-1 割集连通图G的一个割集，作闭合面判断确定一个割集。独立割集。单树支割集（或基本割集）。基本割集组。15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵：Aa、A（参考结点）。矩阵A表示的KCL、KVL矩阵形式。回路矩阵：B。基本回路矩阵（Bf）。用矩阵B表示的KVL、KCL矩阵形式。割集矩阵：Q。基本割集矩阵（Qf）。用矩阵Q表示的KCL、KVL矩阵形式。,第十五章 重点概念-2,15-4 回路电流方程的矩阵形式复合支路（单一电阻、电感或电容）。支路阻抗矩阵（对角阵、非对角阵）。回路电流方程矩阵形式。回路阻抗矩阵（自阻抗、互阻抗）。广泛采用结点法，不采用回路法。15-5 结点电压方程的矩阵形式支路导纳矩阵（对角阵、非对角阵）。结点电压方程的矩阵形式。结点导纳矩阵。,
