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1、微分中值定理及其应用,前述内容，包括函数的极限、函数在某一点的连续性、可导性，考虑的都是函数在某一点的局部性质，是否可以利用已学的概念来讨论函数的某些全局性质呢？中值定理对此问题给出了肯定的回答。,一、内容概述,中值定理包括从特殊到一般的三个定理，分别称作罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理。,费马(fermat)引理,且,存在,证:设,则,一、罗尔(Rolle)定理,例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,3.定理的证明,因为函数 f(x)在区间 a,b 上连续，函数 f(x)在闭区间 a,b 上必能取
2、到最大值 M 和最小值 m,考虑两种可能的情况：(1)若 m=M,则 f(x)在 a,b 上恒等于常数 M(或 m),因而在(a,b)内处处有 f(x)=0，因此可取(a,b)内任意一点作为而使得f()=0成立。,(2)若 mM，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设 f()=M，(a,b).由条件(2)和费马定理推知 f()=0.,5.关于罗尔定理的两点说明,罗尔定理中的是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体位置，但这并不影响定理的应用；罗尔定理的条件是充分条
3、件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件中有一个不满足，则定理的结论就不一定成立。看如下例子：,二、Rolle 定理的条件的讨论（1）罗尔定理的条件缺一不可.,例2,例3,（2）罗尔定理的条件之一不满足其结论仍成立,例如,在x=0处不可导,在端点处函数值不相等,在闭区间上不连续,对以上三个函数Rolle定理结论均成立,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,2.图一,C,B,A,y=f(x),O a b,y,x,2.图二,f(b),f(a),A,B,O a b,x,y,f(b)-f(a),b-a,D,C,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证
4、,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论,例2,证,例3,证,由上式得,例5,证,分析:,结论可变形为,例1 设 在0，1可导，且 证明存在 使,例2 设 在0，1可导，且 证明存在 使,几何解释:,证,作辅助函数,例4,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,罗尔(Rolle)定理，拉格朗日定理，柯西(Cauchy)定理之间的关系,
