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1、第二节 换元积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法,一、第一换元积分法 定理3-2（第一换元积分法）（凑微分法）如果，且 u=(x)可导，则 证 由复合函数导数法则，得所以 G(x)是 g(x)(x)的原函数。即 使用第一换元积分法求不定积分的过程如下：,例3-15 求 解 对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量 u 例3-16 求 解,例3-17 求 解 例3-18 求 解,例3-19 求 解 例3-20 求 解,例3-21 求 解 例3-22 求 解,例3-23 求 解 例3-24 求 解,所以,例3-25 求 解,第二种方法:同理可得,凑微分常见的类型,为了能熟练掌握凑微分法，
2、应熟记一些常用的微分关系式，如：,二、第二换元积分法 定理3-3(第二换元积分法)设 x=(t)是单调可导函数，且 f(t)(t)有原函数 F(t)，则 应用第二换元积分法计算不定积分的过程如下：注意 使用此公式的关键在于通过变量替换 x=(t)将 换成一个容易求得的积分 来计算。,1、三角变换 若被积函数中含有 时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角变换。三角代换常有下列规律,解 令,例3-26 求,解 设,例3-27 求,解 令,例3-28 求,2、倒变换 例3-29 求 解 令，则，得,3、根式变换 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式变换。例3-30 求 解 令，则，得,当被积函数表达式分母中含有 ax2+bx+c 时，可先配方，再用换元积分法。例3-31 求 解,例3-32 求 解 方法一:凑微分法,方法二:倒变换法 令，则，得,方法三：三角变换法 令，于是，所以,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,作业:习题三 6,
