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1、第四节 幂级数,一、幂级数二、幂级数的性质,设 是定义在区间(a,b)内的函数(其中至少有一个 不是常数)，则称 为定义在(a,b)内的函数项级数.,对于(a,b)内的每一个值，函数项级数都化为常数项级数，即,定义9.5 如果 收敛，则称x0为 的收敛点,级数 的收敛点的全体称为该级数的收敛域.如果 发散，则称x0为 的发散点.,在 的收敛域内有.,记,称S(x)为级数 的和函数.同样称 为 的余项.在收敛域内总有.,一、幂级数,定义9.6 形如,或,(其中 都是常数)的函数项级数，称为幂级数.称 为幂级数的系数，又可称它们为定义在 内的幂级数.前者又称为 的幂级数，后者又称为x的幂级数.,如
2、 为x的幂级数，当 时收敛，其和函数为.当 时，级数发散.收敛域为(1,1),定理9.7(阿贝尔(Abel)定理)(1)在x=0处收敛.,(2)若 在 处收敛，则对于一切适合 的x，绝对收敛.,(3)若 在 处发散，则对于适合 的x，发散.,证明(1)显然.,(2)若级数 收敛，则，存在，使,因此,从而几何级数 收敛.,即 绝对收敛.,定理的第3部分反证法：设 时，收敛，,则依第2部分的结论 在x2处收敛，矛盾.,这表明如果幂级数 在x1处收敛，则在区间 内绝对收敛；如果幂级数在 处发散，则在 之外的任何点x处必定发散.,推论 如果幂级数 不是仅在x=0处收敛，也不是在整个数轴都收敛，则必有一
3、个完全确定的正数R存在，使得,(1)当|x|R时，绝对收敛；,(2)当|x|R时，发散；,(3)当x=R与x=R时，可能收敛，也可能发散.,定义9.7 通常称上述R为幂级数 的收敛半径，称(R,R)为幂级数的收敛区间.,如果对于任意x，幂级数 都收敛，则定义其收敛半径为，收敛区间为.,如果幂级数 仅在x=0处收敛，则定义其收敛半径R=0.,定理9.7 对于幂级数，设,并设,若,证 如果认定x为某确定的数值且，则可以认定 为数项级数.,因此，由正项级数的比值判别法知，当,即 时，绝对收敛，,考察其各项绝对值所构成的数项级数,当,即 时,发散，,所以 是其收敛半径.,当，对于任意的x值，总有，所以
4、幂级数 在 内绝对收敛.,当，对于任意的 值，总有，所以幂级数 对任何 都发散.,它只在x=0处收敛，即收敛半径为R=0.,例1 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于，有,可知收敛半径，,收敛区间为(R,R)=(1,1).,有必要指出，若 收敛半径为R，,当|x|R时，发散，,当 时，可能收敛，可能发散.,当x在(R,R)内取值时，绝对收敛，,当x=1时，原级数化为,为调和级数，因而发散.,故原幂级数的收敛域为1,1).,对于例1，R=1，可知，当x=1时，原级数为,为交错级数，由莱布尼茨定理知其收敛.,例2 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于，因而,可知收敛半径R=0，所给级数
5、仅在x=0处收敛.,例3 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于，因而,可知收敛半径，收敛区间为.,例4 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 可设y=x1，则原级数化为.此处,可知收敛半径，收敛区间为 即,1x11，即0 x2.,例5 求级数 的收敛半径与收敛区间.,解 本例中只含x的偶次幂，不含x的奇次幂，我们称 之为缺项情形.对于缺项情形，不能用前述定理.通 常的方法考察后项与前项绝对值之比的极限，得,当 即 时，所给级数绝对收敛，,当 时，所给级数发散.,因此所给级数收敛半径为R=，收敛区间为.,例6 幂级数 的收敛半径为_.,解 与 收敛半径求法一样,由于,可知,因此,故所给级数
6、收敛半径为1.,二、幂级数的性质,性质6 幂级数 的和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内为连续函数.,性质8.8 幂级数 的收敛半径为R，则其和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内是可导的，且有逐项求导公式：,收敛半径也是R.(注意上式两端和式符号的下标变化!),若 与 的收敛区间分别为 与，和函数分别为S(x)与，则有下列性质4.,性质9 两幂级数 与 可以逐项相加，即 且 在区间(R,R)内收敛，其中,例7 求 的收敛区间与和函数.,解 所给级数的系数，,因而收敛半径，收敛区间为(1,1).,由于 的收敛区间为(1,1)，和函数为，令所给级数在收敛区间(1,1)内的和函数为S(x)，即,则,因而当 时有,其中S(0)=0，所以,即,例8 求 的收敛区间与和函数.,解 所给级数 的系数,因此收敛半径，收敛区间为(1,1).,令所给级数在收敛区间(1,1)内的和函数为S(x)，即,故,即,则当 时有,
