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1、第十一章 单元复习课,一、全等三角形的相关概念1.全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.角的平分线从角的顶点引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫做角的平分线.,(1)种类：是一条射线.(2)作用：平分一个角.(3)表示：AOC=BOC=AOB，或AOB=2AOC=2BOC.,二、全等三角形的相关性质及判定1.全等三角形(1)全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线、对应角的角平分线相等；全等三角形的周长、面积相等.全等三角形的性质是证明线段、角相等的重要依据.,(2)全等三角形的判定方法一般全等三角形的判定方法,直角三角形的判
2、定方法a.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为“斜边、直角边”或“HL”).作用：仅用来判定两个直角三角形全等.条件：斜边和一条直角边对应相等.,b.判定两个直角三角形全等和判定两个一般三角形全等的方法比较：,2.角平分线的性质、判定的比较,性质,判定,全等三角形的判定【相关链接】判定两个三角形全等的“四种思路”1.已知两边,2.已知一边一角(1)边为角的对边时，找任一角(AAS)(2)边为角的邻边时3.已知两角：找任意一边(AAS,ASA)4.有直角，找两边(HL，SAS),【例1】(2011漳州中考)如图，B=D，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使ABCADE
3、并证明.(1)添加的条件是_；(2)证明：ABCADE.,【教你解题】,全等三角形的性质及其应用【相关链接】1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积分别相等.2.应用：利用全等三角形的性质可证明线段相等或角相等，进而通过角的关系来判断线与线之间的位置关系等.在应用时要注意“对应”问题.,【例2】(2011内江中考)如图，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想,【思路点拨】根据中点找
4、相等的线段 根据直角找相等的角 证明三角形全等 根据全等三角形的性质证明线段相等，角相等 作出判断,【自主解答】BE=EC，BEEC.理由如下：AC=2AB，点D是AC的中点，AB=AD=CD.EAD=EDA=45，EAB=EDC=135.EA=ED，EABEDC(SAS)，AEB=DEC，EB=EC，BEC=AED=90，BEEC,角平分线的性质及其判定【相关链接】角平分线性质的应用及注意事项1.应用：角平分线的性质是证明线段、角相等的重要依据.其成立的依据是全等三角形的性质.当与其他知识综合在一起时，主要考查角平分线性质的应用.2.注意事项：应用性质及判定时，添加辅助线的方法一般是过角平分
5、线上的一点作角两边的垂线.,【例3】如图所示，ABCD，E为AD上一点，且BE，CE分别平分ABC，BCD.求证：AE=DE.【思路点拨】应用角平分线，过角平分线上的点向角的两边作垂线，寻求相等的线段，进而构造全等三角形来求解.,【自主解答】过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，作EGBC，垂足为G，作EHCD，垂足为H.BE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG.同理，EG=EH，EF=EH.ABCD，FAE=D.EFAB，EHCD，AFE=DHE=90.,在AFE和DHE中，AFEDHE(AAS)，AE=DE.,1.在ABC和ABC中，a,b,a,b分别为ABC和ABC中A，B及A，
6、B的对边，CC，且b-a=b-a,b+a=b+a,则这两个三角形()(A)不一定全等(B)不全等(C)全等，根据“ASA”(D)全等，根据“SAS”【解析】选D.由b-a=b-a,b+a=b+a可得a=a，b=b，又C=C，根据“SAS”，可得这两个三角形全等.,2.下列命题是假命题的是()(A)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等(B)有两个角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等(C)有两条边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等(D)有两条边和其中一条边上的高对应相等的两个三角形全等,【解析】选C.A.全等三角形的对应高、中线、角平分线相等，故本选项正确；B.两角和其中
7、一角的角平分线对应相等，可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等，故本选项正确；C.第三边上的中线对应相等时没有对应角相等，不一定全等，故本选项错误；D.两边和其中一边上的高对应相等，两种情况都可以运用HL定理证明两个三角形全等，故本选项正确,3.(2011威海中考)在ABC中，ABAC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定BFD与EDF全等()(A)EFAB(B)BF=CF(C)A=DFE(D)B=DEF,【解析】选C.DE是ABC的中位线，DEBC，所以EDF=BFD.又DF=FD，所以两三角形已具备了一边一角对应相等的
8、条件.添加A中条件EFAB，可利用ASA证全等；添加B中条件BF=CF，可利用SAS证全等；添加C中条件，不能证明全等；添加D中条件B=DEF，可利用AAS证明全等.,4.如图，O是ABC内一点，且O到ABC三边AB，BC，CA的距离相等，若BAC=70，则BOC的度数为_,【解析】点O到ABC三边AB，BC，CA的距离相等，OB，OC分别平分ABC，ACB，BOC=180-(ABC+ACB)，=180-(180-BAC)=90+BAC=90+35=125答案：125,5.(2011牡丹江中考)如图，ABC的高BD，CE相交于点O请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE你所添加
9、的条件是_,【解析】要说明BD=CE，可以先说明ABDACE.由已知ABC的高BD，CE相交于点O，可得ADB=AEC，又A是公共角，所以可以考虑用AAS或ASA来说明两个三角形全等.答案：AEAD(答案不唯一),【归纳整合】解答与三角形全等的判定相关的开放性命题时，关键在于对全等三角形的判定方法要熟记，认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件，按照要求解答.在解答时要注意“SSA”及“AAA”不能作为三角形全等的判定.,6.如图，AB=AC，BAC=DAE,ADB=AEC,则图中_.,【解析】BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC,即BAD=CAE.在ABD和ACE中,ABDACE(AAS
10、).答案：ABD ACE,7.如图，已知RtABCRtADE，ABC=ADE=90,BC与DE相交于点F，连接CD,EB(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举.(2)求证：CF=EF,【解析】(1)ADCABE,CDFEBF.(2)方法一：RtABCRtADE,AC=AE,AD=AB,CAB=EAD,CAB-DAB=EAD-DAB,即CAD=EAB,ACDAEB(SAS),CD=EB,ADC=ABE.,又ADE=ABC,CDF=EBF.又DFC=BFE,CDFEBF(AAS),CF=EF.,方法二：连接AF.RtABCRtADE，AB=AD,BC=DE,ABC=ADE=90.又AF=AF，
11、RtABFRtADF(HL)，BF=DF，又BC=DE，BC-BF=DE-DF，即CF=EF.,8.如图，已知线段AC与BD相交于点O，连接AB，DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF.分别将条件“A=D”记为,“AB=DC”记为“OE=OF”记为；添加条件，以为结论构成命题一；添加条件，以为结论构成命题二；添加条件，以为结论构成命题三.(1)上述三个命题中，真命题是_;(2)选择一个真命题加以证明.,【解析】(1)命题一和命题二；(2)以命题二为例给予证明E为OB的中点，F为OC的中点，OE=OF，OB=OC.在AOB和DOC中，AOBDOC(AAS)，AB=DC.,9.(2011聊
12、城中考)将两块大小相同的含30角的直角三角板(BACBAC30)按图方式放置，固定三角板ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90)至图所示的位置，AB与AC交于点E，AC与AB交于点F，AB与AB相交于点O,(1)求证：BCEBCF.(2)当旋转角等于30时，AB与AB垂直吗？请说明理由,【解析】(1)因为BB，BCBC，BCEBCF，所以BCEBCF(ASA)；(2)AB与AB垂直，理由如下：旋转角等于30，即ECF30，所以FCB60.又因为BB60，所以CFB的度数为180606060，所以AFO=60，所以AOF=180-AFO-A=90，所以AB与AB垂直.,
