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1、上节内容,洛必达法则,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,第三章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,问题：,x 的一次多项式,1、如何提高精度?2、如何估计误差?,阶的导数,求 n 次近似多项式,要求:,1、用高次（n 次）多项式近似表达函数.,2、给出估计误差 的公式.,解决办法：,问题：,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒(Taylor)中值定理:,阶
2、的导数,时,有,其中,则当,证明：,令,(称为余项),则有,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,即,在不需要余项的精确表达式时,可以证明:,则泰勒公式可写为,称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)型余项.,上式称为n 阶带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式.,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、常用的几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,1、利用泰
3、勒公式求极限,例3.求,解:,由于,三、泰勒公式的应用,补例.求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,补例.计算,解:,原式,2、利用泰勒公式证明不等式,补例.证明,证:,3、利用泰勒公式证明等式,（2010.5月我校高数竞赛题）,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式,3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式 等.,(2)利用多项式逼近函数,作业 习题3-3 5，7，10（2）,由题设对,证:,备用题.,有,且,一点,下式减上式,得,令,泰勒(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,
