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1、二、两个重要极限,一、数列极限（函数极限）的夹逼准则、单调有界收敛准则,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第一章 函数与极限,第一章,一、数列极限存在的夹逼准则,准则I：若数列 xn,yn 和 zn 满足下列条件:,则数列 xn 的极限存在且,证：,故,相应的函数极限存在的夹逼准则,准则I,且,利用函数极限与数列极限的关系及数列极限存在的夹逼准则证明.,圆扇形AOB的面积,二、第一个重要极限,证:当,即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,例1.,解:,例2.,解:,则,因此,原式,例3.,解:原式=,例4.已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,注:计算中注意利用,三、单调有界
2、数列的收敛准则,准则II：单调有界数列必有极限。,相应的单调有界函数的收敛准则,准则II：设函数 f(x)在 x0 的某个左邻域内单调并且有界，则函数 f(x)在 x0的左极限 f(x0-)必存在。,若数列xn满足,则称数列xn单调增加；,若数列 xn 满足,则称数列xn单调减少；单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。,四、第二个重要极限,证明思路:,1.首先证明数列xn是单调有界数列从而极限存在，其中,2.其次利用夹逼准则证明,3.再用变量代换法证明,4.联合上面两个结论可得,先证：,第一步，证明数列xn是单调增加的。,易见,第二步,证明数列xn有界.,从而,其中我们用了不等式,(数学归纳法),于是,由单调增加和有界性知数列xn 极限存在,记,下证:函数极限,一方面,当 x 0,时,设,则,则,从而有,故,时,另一方面,当,令,例5.,解:,则,另证:,则,原式,利用,小结,1.数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,2.单调有界数列必有极限,在点 x0 的某左(右)邻域内单调且有界的函数有左(右)极限,3.两个重要极限,或,(形如1 的情形要注意用此极限并“凑”),课堂练习,求极限:,
