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1、,二、两个重要极限,一、极限存在准则,第五节,极限存在准则及,两个重要极限,第二章,三、无穷小量的比较,一、极限存在准则,1.准则1（数列极限存在的夹逼准则）,证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,例1.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,2.函数极限存在的夹逼准则,准则1.,且,例2.求,解:令,则,利用夹逼准则可知,3.准则2(单调有界数列必有极限),(证明略),二、两个重要极限,注,圆扇形AOB的面积,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,如何计算：,公式的推广：,如果,请 公式的特点！,注意,例3.求,解:,例4.求
2、,解:令,则,因此,原式,注意：变量代换也是一种很有用的方法,例5.求,解:原式=,例6.已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明:计算中注意利用,例7.求,解:,例8.求,解:,原式,例.求,解：因为,所以，,解,例 当 时，求,2.,证:利用二项式公式,有,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,即,有极限.,又,内容小结,注:这个极限值被瑞士欧拉（Euler)首先用字母e表示，它是一个无理数,其值用e=2.7182818284)来表示.,2.,证:当,时,设,则,当,则,从而有,故,说明:此极限也可写为:,时,令,更一般地有:,例9.求,解:令,则,说明：若利用,则,原
3、式,例10.求,解:原式=,例11,求极限,解,例11(复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回,若每期结算 m 次,则 t 期后连本带利可收回,现实生活中一些事物的生长(r0)和衰减(r0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。,若按连续复利(将利息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算：,实质上就是每期的结算次数 时的本利和,贴现问题,与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题。这时利率r称为贴现率。,连续的贴现公式为：,若称A0为现在值，At为未来值，已知现在值求未来
4、值是复利问题:,由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:,例12 设年利率为6.5，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元？,解：贴现率r=6.5，未来值At=1200，t=16。,现在值：,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的.,三、无穷小的比较,定义.例如,当,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例1.证明:当,时,证:,例2.证明:,证:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,说明:上述证明过程也给出
5、了等价关系:,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2.设,且,存在,则,证:,例如,等价无穷小替换定理：,注:此定理表明,求两个无穷小量积或商的极限时,如果分子（或分子的乘积因子）或分母（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或 分母（或分子或分母的乘积因子）,使计算简化。,例如,例3.求,解:,原式,例4.求,解:,例5.,例6.,例7 若，求a.,解：,所以，a=2.,例8 若,【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.,注：一般地，已知,解,思考题：已知，求,解 因为，则,所以，利用等价无穷小替换得,从而,常用等价无穷小:,第八节,内容小结,数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,1.极限存在准则:,夹逼准则;单调有界准则;,2.两个重要极限,或,3.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,故极限存在，,思考题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,2.设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,
