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1、,转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量
2、时丢失的解 y=0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P 304 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 已知曲线积分,与路径无关,其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关,故有,即,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
