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1、第11章 能 量 法,11.1 概 述,1.能量法：,利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,2.能量法的应用范围十分广泛：,（1）线弹性体；非线性弹性体,（2）静定问题；超静定问题,（3）是有限单元法的重要基础,西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室,11.2 应变能余能,1.应变能,(1)线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册),拉(压)杆,圆轴扭转,梁弯曲,(2)非线性弹性体的应变能表达式,对图(a)的拉杆,F在d上所作微功为 dW=F d,F作的总功为：,（F-曲线与横坐标轴间的面积）,由能量守恒得应变能：,(此为由外力功计算应变能的
2、表达式）,类似，可得其余变形下的应变能：,若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为:,F=11=,其伸长量为：,1,则作用于此单元体上的外力功为：,注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的W)为应变能密度:,(-曲线与横坐标轴间的面积）,若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此单元体的应变能为：,整个拉杆的应变能为：,(此为由应变能密度计算应变能的表达式),说明：线弹性体的v、V 可作为非线性体的v、V 的特例。由于线弹性的F与或与 成正比，则F曲线或 曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能V 和应变能密度v。,同理，可得纯剪时的应变能密度
3、v为：,例:弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。,解：梁的挠曲线方程为：,荷载所作外力功为：,将前一式代入后一式得：,例:原为水平位置的杆系如图a 所示，试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性的。,解：设两杆的轴力为FN，则两杆的伸长量均为：,两杆伸长后的长度均为：,由图a的几何关系可知：,代入前一式得：,或：,（几何非线性弹性问题）,其F-间的非线性关系曲线为：,应变能为：,2.余能,设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b。,“余功Wc”定义为：,与余功相应的能称为余能Vc，余
4、功Wc与余能Vc 在数值上相等。,（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）,即：,另外，也可由余能密度vc计算余能V c：,其中，余能密度vc为：,（代表图c中-与纵坐标轴间的面积）,对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。,注意：,对非线性材料，则余能V c与应变能V 在数值上不一定相等。,余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。,例 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。,解：,两杆轴力均为：,两杆横截面上的应力为：,所以余能为,余能密度为：,
5、由已知,113 卡氏定理,1.卡氏第一定理 导出“力”的定理,设图中材料为非线性弹性，,由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有,假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i,则应变能的变化为：,因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d i，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：,注意到上式与下式在数值上相等,从而有：,（卡氏第一定理）,注意：,卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。,式中Fi及i分别为广义力、广义位移。,必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。,例 由两根横截面面积均为
6、A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a 所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。,解：,设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，,先假设结点B只发生水平位移1（图b）,则：,同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）,则：,当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）,应用卡氏第一定理得,解得：,桁架的应变能为,2.卡氏第二定理 导出“位移”的定理,设有非线性弹性的梁，,梁内的余能为：,假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi，外力总余功的相应改变量为：,余能的相应改变量为：
7、,由于外力余功在数值上等于余能，得,解得：,（称为“余能定理”）,特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V 在数值上等于余能V c，此时上式变为：,（称为“卡氏第二定理”）,式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。,注意：,卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。,所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。,当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。,实际计算时，常采用以下更实用的形式：,例 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分
8、布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。,解：,在自由端“虚加”外力F,任意x截面处的弯矩为：,例 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB段上受均布荷载q作用，如图a 所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。,解：,在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b),各支反力如图b。,AB段弯矩方程：,由卡氏第二定理得：,结果符号为正，说明相对转角B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。,BC段弯矩方程,例 图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线
9、弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移。,解：,将一对力F视为广义力，即为相应的广义位移。,所以,114 用能量法解超静定系统,例 由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力一应变关系为=K1/n，且n 1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。,解：,取D处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图b。,余能密度为：,由图b的平衡得各杆轴力：,注意到D处的变形相容条件 D=0 及余能定理 D=Vc/X,解得,总余能为,例 试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI
10、，不计剪力和轴力对刚架变形的影响。,解：,取B处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图(b)。,BD段,各段弯矩及其对X的偏导如下,注意到B处的变形相容条件 wB=0 及卡氏第二定理,解得,进一步对图b列平衡方程，可得A处的支反力,DC段,CA段,例 图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。,解：,基本静定系统如图b。,切口处相应的多余未知力分别用X1、X2和X3表示。,与X1、X2和X3对应的广义位移分别为两切开截面的相对分开量、相对转角和相对错动量。值均为0。,结合卡氏第二定理得补充方程（取1/4圆环）：,其中：,解得：,
