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1、3.4 Gauss求积公式,3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性,3.4.2 常用Gauss求积公式,3.4.1 Gauss求积公式的基本理论,3.4 Gauss求积公式,学习目标：掌握高斯求积公式的用法。会用高斯勒让德求积公式。,3.4.1 Gauss求积公式的基本理论,在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。,3.4 Gauss求积公式,例3.5 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。,解 按代数精度的概念，分别
2、令 时上式左边与右边分别相等，有有第二式和第四式可得，结合第一式和第三式得 取 得于是得到求积公式,它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。,定义3.3 如果求积公式（3.4.1）具有2n+1次代数精度，则称该公式Gauss型公式。称 其节点为Gauss点。,如果象例3.5那样，直接利用代数精度的概念去求n=1个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题。,定理 3.5 对于插值求值公式(3.4.1),其节点 是
3、Gauss点的充分必要条件是多项式 与任意不超过n次多项式 P(x)带权正交,即（3.4.2）,证.先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss点，则求积公式（3.4.1）对于 是准确成立的，即有但 故（3.4.2）成立。,再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式。利用（3.4.2）有由于（3.4.1）是插值型的，它对于Q(x)能准确立即,注意到 知，从而有由此可见，公式（3.4.1）对于一切次数不超过2n+1的多项式均能准
4、确成立。因此，是Gauss点，定理得证。,由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。,例 3.6 确定 使下列公式为Gauss公式：,解 我们可以像例3.5一样,直接由代数精度的概念构造Gauss公式。这里,我们用正交多项式的零点作为Gauss点的办法构造该Gauss公式。先构造区间0，1上权函数 的正交多项式 这里我们直接用正交性求解。设,则由,得，由得b=-8/9，从而得c=-8/63。由 的零点按代数精度的概念，分别令f(x)=1，x时公式准确成立，得,由此解得 从而得到Gauss求积公式。,得a=-2/5.
5、由,3.4.2 常用Gauss求积公式,1.GaussLegendre求积公式在区间-1，1上取权函数，那么相应的正交多项式为Legendre多项式。以Legendre多项式的零点为Gauss点的求积公式为（3.4.3）称之为Gauss-Legendre求积公式。,当n=1时，二次Legendre多项式零点为。此时，公式（3.4.3）即为例3.5所给出的公式。,当n=2时，三次Legendre多项式零点为。以此为Gauss点，仿两点Gauss-Legendre求积公式，求相应的求积系数，可构造出具有五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式,表3-5,例3.7 用Gauss-Leg
6、endre求积公式(n=1,2)计算积分,容易求出定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828，由此可见,n=1时的实际误差为0.0063340054,n=2时的实际误差为0.000030049。,以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为,其中 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-Chebyshev求积公式,2.Guass-Chebyshev求积公式 在区间-1,1上取权函数 的正交多项式是Chebyshev正交多项式。n+1次Chebyshev多项式 的零点为,对于n=2,三点Gauss-Chebyshev求积公式为,
7、3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性,证 由Gauss点 构造次数不超过2n+1的Hermite插值多项式H(x),满足条件由于Gauss公式具有2n+1次代数精度它对于H(x)能准确成立,即,对于两点Gauss-Legendre求积公式有,对比Newton-Cotes求积公式,Gauss求积公式不但具有高精度,而且是数值稳定的.Gauss公式的稳定性之所以能够得到保证,是由于它的求积系数具有非负性.,引理 Gauss求积公式(3.4.1)中的系数 全部为正.,对于两点Gauss-Chebyshev求积公式有,在实际计算积分的近似值 时，不能精确地取到，一般只能是近似值，设 实际求得的积分值为,定理 3.7 对于函数值的变化所引起的求积公式的误差有,因此，（）成立，定理成立。由定理3.7可知，数据误差对于求积公式计算值的影响是可以控制的，即Gauss求积公式在数值计算中是稳定的。,证 由于求积系数 因此有,在Gauss求积公式中，取f(x)=1，此时求积公式精确成立，即得,
