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1、5.5 Gauss求积公式/*Gauss Quadrature Formula*/,NewtonCotes求积公式中的求积节点是等距选取的，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；,积分公式的一般形式：,插值型的求积公式至少有n次代数精度，至多有多少次的代数精度？,如何适当选取求积节点和求积系数，使求积公式达到最高的代数精度？,一、Gauss积分问题的提法,为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:,当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选 取，求积公式的代数精度最高能达到多少？,具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？,积分公式的一般形式：,个求积节点，个求积系数，共 个未知量，需要
2、 个方程，因此可以取 使公式精确成立，从而求出求积节点和系数。,只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。,形如 的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。,证明：,令,因为,而,故求积公式不能精确成立。,下面讨论一般积分形式：,其中 为权函数,构造积分公式（*）,具有2n+1次代数精度。,其中,求积节点,求积系数,与被积函数无关,如果一组节点，使得上述插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组节点为Gauss点，相应的公式为Gauss型求积公式。,求积系数的特征：,五点的Gauss求积公式具有多少次代数精度？,例1：构造下列积分的Gaus
3、s求积公式：,例题：,分析：因为n=1,所以Guass求积公式具有3次代数精度。分别取,得到关于 的方程组，求解非线性方程组得到求积系数和求积节点。,2n+2个未知数，2n+2个方程的非线性方程组,由代数精度定义，当 时，,求积公式 精确成立：,问题：如何计算Gauss点 及求积系数？,方法一：从代数精度的定义出发，求解非线性方程组；,方法二：两步走,问题：如何计算Gauss点 及求积系数？,1.先确定Gauss求积节点,2.计算求积系数,从代数精度的定义出发，求解线性方程组；或用系数的表达式直接计算。,二、Gauss求积公式的性质,Gauss求积公式存在的条件,证明：,必要性,设,则,充分性
4、,对于,即求积公式（*）对一切不超过2n+1次的多项式精确成立,所以节点 是Gauss点,上述定理表明：上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式（*）的Gauss点,Gauss求积公式中求积系数的求法,由代数精度定义，得到n+1阶线性方程组：,设已知Gauss点,或者,Gauss求积公式的余项,证明：,设 是满足下列条件的Hermite插值,公式有2n+1次代数精度,积分第一中值定理,Gauss求积公式的稳定性,Gauss型求积公式（*）总是稳定的。,证明：,只需证明：,因为Gauss型求积公式（*）对所有不超过2n+1次的多项式都精确成立：,取,Gauss求积公式的收敛性,证明：,由We
5、ierstrass定理知,对,存在m次多项式 满足,下证,当 时,三、Gauss求积公式的构造,根据前面的讨论，只需要取n+1次正交多项式的n+1个零点为求积节点，构造的求积公式即为Gauss求积公式,区间的转化问题,任意区间 经过下列变换可变为区间,下面仅以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例,Legendre正交多项式,Gauss-Legendre求积公式,其中求积节点 是n+1次Legendre多项式的零点,求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式,时，零点，构造求积公式：,求：,令，代入公式精确成立，得到：,或,1次代数精度,时，零点 构造求积公式：,求：,令，代入公
6、式精确成立，得到：,或,3次代数精度,P147表,5次代数精度,例1：应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分,解：,作变换,三点Gauss-Legendre求积公式,切比雪夫（Chebyshev）正交多项式系：,在-1,1内的n个零点和n+1个最值点为：,见文献13,Gauss-Chebyshev求积公式,其中求积节点 是n+1次Chebyshev多项式的零点,求积系数,例2：应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分,解：,作变换,节点增加时需重新计算,可以计算广义积分,NewtonCotes求积公式是等距节点的插值型求积公式，当n7时计算不稳定；梯形求积公式和Simpson求积公式是低精度方法，但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法能得到更好的效果。实际计算中一般采用复化求积公式。,Romberg求积方法。算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面计算的结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量有好处。,Gauss求积。Gauss公式精度高，计算稳定，但求积节点选取困难。带权Gauss求积方法能把复杂积分化简，还可以直接计算无穷区间上的积分和广义积分。,
