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1、1,MATLAB在概率统计中的应用1 求平均值 一组数据用x表示 则 mean(x)为各元素的算术平均 而 sum(x.*p)为该组数据的加权平均，p为对 应数据的权重 其他命令包括：max,min,median（中位数）,sort（递增排序）,range（级差），sum（向量x的元素总和）,cumsum（向量x的累计元素总和）,2,例 测得8组数据为（以 mm计）74.001，74.005，74.003，74.001，74.000，73.998，74.006，74.002。试求样本的均值。d=74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 7
2、4.002 mean(d)例 设随机变量X的分布律见表，求E（X）和E（3+5）的值。x-2 0 2 Pk 0.4 0.3 0.3 x=-2 0 2;Pk=0.4 0.3 0.3 sum(x.*pk),3,z=3*y+5 sum(z.*pk)方差和标准差 方差：D(x)=Ex-E(x)2 标准差：(x)=sqrt(D(X)命令函数：var(x)%方差 var(x,1)var(x,w)std(x)%标准差 std(x,1)%计算列标准差,4,例 对例 1中的样本值d，求其方差值、样本方差值、标准差、样本标准差的值解：d=74.0010 74.0050 74.0030 74.0010 74.000
3、0 73.9980 74.0060 74.0020 x1=var(d,1),x2=var(d),x3=std(d,1),x4=std(d)x1=6.0000e-006x2=6.8571e-006x3=0.0024x4=0.0026,5,例 有15名学生的体重（单位为 kg）为75.0，64.0，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0。计算此15名学生体重的均值、标准差解：w=75.0，64.0，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64，57.0，61.0，56.9，50.0，
4、72.0;mean1=mean(w)std1=std(w),6,9.1.6 协方差和相关系数协方差 cov(x,y)=Ex-E(x)y-E(y)相关系数 cov(x,y)cov(x,0)cov(x,1)corrcoef(x,y)corrcoef(x)例 协方差矩阵函数和相关系数函数应用示例。a=1,2,1,2,2,1 var(a)cov(a)d=rand(2,6)cov1=cov(d)conzhi=cov1(2),7,9.1.7 协方差矩阵例：c=rand(3,3)cov(c)corrcoef(c)9.2常用的统计分布量9.2.1 期望和方差例 求参数0.12和0.34的 分布的期望和方差。解
5、：m,v=betastat(0.12,0.34)例 按规定，某型号的电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品，已知一样品20只，一级品率为0.2，问样品中一级品元件的期望和方差为多少？,8,m,v=binostat(20,.2)例 求参数为6的泊松分布的期望和方差 m,v=poisstat(6)9.2.2 概率密度函数 pdf(name,x,a,b,c)例 计算正态分布N(0，1)下的在点0.7733的值。pdf(norm,0.7733,0,1)normpdf(0.7733,0,1)例 绘制卡方分布密度函数在 n分别等于1，5，15的图.clf x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x
6、,1);plot(x,y1,:),9,hold on y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,+)y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,o)axis(0,30,0,0.21)9.2.3 概率值函数（概率累积函数）例 某一公安在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救次数服从参数为 t/2的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）求（1）在某一天中午12时至下午3时没有收到1呼救的概率（2）在某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率,10,解：poisscdf(0,1.5)poisscdf(0,2.5)例 设XN（3，）(1)求P22,P X3;(2)确定
7、c使得P Xc=P Xc.P2X5 a1=normcdf(2,3,2)a2=normcdf(5,3,2)p=a2-a1 P-4X10 p=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2),11,P|X|2 p=1-normcdf(2,3,2)+normcdf(-2,3,2)P X3 p=1-normcdf(3,3,2)9.2.4 分值点函数例 求上例的第(2)问 解:若要P Xc=P Xc=P Xc=0.5,norminv(0.5,3,2)例 在假设检验中常用到求分值点的问题,如当 时,求Z(0.05/2)和T(0.05/2,10),12,norminv(0.025,0,1)ti
8、nv(0.025,10)9.3.1 正态分布参数估计例 假设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.0.5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布。解:time=6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0;MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=normfit(time,0.05),13,例 分别使用金球和铂球测定引力常数(1)用金球测定观察值为:6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672;(2)用铂球测定观察值为:6.661,6.661,6.667,6.667,
9、6.664.解:j=6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672;b=6.661,6.661,6.667,6.667,6.664;MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=normfit(j,0.1)MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=normfit(b,0.1),14,9.3.2指数最大似然参数估计例 已知以下数据为指数分布，求它的置信度为0.05的参数的估计值和区间估计。数据为1，6，7，23，26，21，12，3，1，0。解：a=1，6，7，23，26，21，12，3，1，0;MUHAT,MUCI=expfit(a,0.05)9
10、.4 区间估计9.4.1 Gauss-Newton法的非线性最小二乘数据拟合 nlinfit nlinfit(X,Y,MODEL,BETA0)BETA,R,J=nlinfit(X,Y,MODEL,BETA0),15,9.4.2 非线性拟合预测的交互图形工具 nlintool nlintool(X,Y,MODEL,BETA0,ALPHA)nlintool(X,Y,MODEL,BETA0,ALPHA,XNAME,YNAME)9.4.3 非线性最小二乘预测的置信区间 nlpredci YPRED,delta=mlpredci(MODEL,INPUTS,XF,J)非线性模型的参数置信区间 nlparc
11、iCI=nlparci(X,F,J),16,9.4.5 非负最小二乘 nnls x=nnls(A,b)x,w=nnls(A,b)9.5 假设检验9.5.1 单个总体 均值 的检验例 设某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重量是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其值均为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机的抽取它所包装的糖9袋，称得净重为（公斤）0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.52，0.515，0.512,17,x=0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.52，0.515
12、，0.512H,sig=ztest(x,0.5,0.015,0.05,0)未知时的 检验（t检验法）例 某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，均未知。现测得16只元件的寿命如下所示：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 H,sig=ttest(x,225,0.05,1),18,9.5.2 两个正态总体均值差的检验（t检验）例 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建
13、议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼10炉，其得率分别为：（1）标准方法 78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3（2）新方法 79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体,19,均未知。,问建议的操作方法能否提高得率（取）？解：x=78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76
14、.7，77.3 y=79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1H,sig,ci=ttest2(x,y,0.05,-1)9.5.3 秩和检验例 某商店为了确定向公司A或B购买某种商品，将A，B公司以往的各次进货的次品率进行比较，数据如下，设两样本独立。问两公司的,20,商品的质量有无显著差异。设两公司的商品的次品密度最多只差一个平移，取。A 7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 9.4 4.0 2.0 10.5B 5.7 3.2 4.2 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3分别以 记
15、公司A，B的商品率总体的均值。所需检验的假设为 a=7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 9.4 4.0 2.0 10.5;b=5.7 3.2 4.2 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3p,H=ranksum(a,b,0.05),21,9.5.4 中值检验1 signrank函数 signrankP=signrank(x,y,ALPHA)P,H=signrank(x,y,ALPHA)2 signtest函数 signtestP=signtest(x,y,ALPHA)P,H=signtest(x,y,ALPHA)9.6方差分析和回归诊断
16、9.6.1方差分析 anoval(x),22,例 设有三台机器，用来产生规格相同的铝合金薄板。取样、测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如下：机器1 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243机器2 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261机器3 0.258 0.264 0.259 0.267 0.262检验各台机器所产生的薄板的厚度有无显著的差异？x=0.236 0.238 0.248 0.245 0.243;0.257 0.253 0.255 0.254 0.261;0.258 0.264 0.259 0.267 0.262;anoval(x),23,
17、2 双因素试验的方差分析 anova2(X,REPS)例 一次火箭使用了4种燃料，3种推进器做射程试验，每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，得到如下结果。推进器（B）B1 B2 B3 A1 58.2000 56.2000 65.3000 52.6000 41.2000 60.8000 A2 49.1000 54.1000 51.6000 燃料（A）42.8000 50.5000 48.4000 A3 60.1000 70.9000 39.2000 58.3000 73.2000 40.7000 A4 75.8000 58.2000 48.7000 71.5000 51.0000 41.4
18、000,24,解：a=58.2000 56.2000 65.3000 52.6000 41.2000 60.8000 49.1000 54.1000 51.6000 42.8000 50.5000 48.4000 60.1000 70.9000 39.2000 58.3000 73.2000 40.7000 75.8000 58.2000 48.7000 71.5000 51.0000 41.4000;anova2(a,2)9.6.2 回归分析例 为了研究某一化学反应过程中，温度X对产品得率Y的影响，测得数据如下,25,温度x 100 110 120 130 140 150 160 170 1
19、80 190 得率y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89试做y=a+bx型的回归。解：x=100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y=45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 a,b=polyfit(x,y,1)9.7统计图9.7.1 直方图 hist9.7.2 角度扇形图 rose9.7.3 正态分布图 h=normplot例：x=normrnd(0,1,100000,1);normplot(x),26,9.7.4 参考线 refline(SLOPE,INTERCEPT)refline(SLOPE)H=refl
20、ine(SLOPE,INTERCEPT)9.7.5 显示数据采样的盒图例：x=normrnd(0,1,10000,1);boxplot(x,1,+,1)9.7.6 对离散图形加最小二乘法直线例：a=0.1,0.3,0.4,0.55,0.7,0.8,0.95;b=15,18,19,21,22.6,23.8,26;plot(a,b,”*”);lsline9.7.7 QQ图 qqplot(x,y),27,例：plot(a,b,*)qqplot(a,b),28,9.8 函数的最小值9.8.1 单变量函数的最小值 x=fmin(F,x1,x2)F为目标函数，x为返回的区间 x1,x2 内的 函数最小值所对应的自变量坐标。例：求函数(x3+cosx+xlogx)/ex 在(0,1)区间的 最小值点。fmin(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),0,1),29,9.8.2 多变量函数的最小值 x=fmins(F,x0)F为多变量目标函数 x0为预估最小值对应的坐标 x为fmins返回的函数最小值对应的坐标值 F,x0,x均为矩阵形式例：求函数2x13+4x1x23-10 x1x2+x22的最小值点,
