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1、第7章 MATLAB符号计算,7.1 符号计算基础,7.1.1 符号对象1.建立符号变量和符号常数(1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。,例7.1 考察符号变量和数值变量的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=a,b;c,d%建立符号矩阵AB=w,x;y,z%建立数值矩阵Bdet(A)%计算符号矩阵A的行列式det(B)%计算数值矩阵B的行列式,例
2、7.2 比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3);%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值 sin(pi2/3)%计算数值表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r1)%计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2)%计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2)%计算数值表达式值,(2)syms函数syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,
3、var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2.建立符号表达式建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。(2)用sym函数建立符号表达式。(3)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,7.1.2 基本的符号运算1.符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算和其他表达式的运算并无不同，但要注意，其运算结果依然是一个符号表达式。符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。,2符号表达式的提取分子和分母运算如果符号表达式是一
4、个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s)该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,3.因式分解与展开factor(S)对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,4.表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MAT
5、LAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,5符号表达式与数值表达式之间的转换利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,7.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用find
6、sym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,7.1.4 符号矩阵transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。,7.2 符号导数及其应用,7.2.1 函数的极限limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,right)或 limit(f,x,a,left),例7.10求极限。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limi
7、t(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x(包括+和-)处的极限limit(f,x,inf,left)%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right)%求极限(4),7.2.2 符号函数求导及其应用MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。,例7.3 求函数的导数。命令如下
8、：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f)%求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3)%求(2)。求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3%求(3)。求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x)%求(4)。z对x的偏导数diff(f,
9、y)%求(4)。z对y的偏导数f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,例7.4 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x);y=x3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4,7.3 符号积分,7.3.1 不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)i
10、nt函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。,例7.5 求不定积分。命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)%求不定积分(1)f=sqrt(x3+x4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简,7.3.2 符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例7.6 求定积分。命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2)%求定积分(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf)%求定积
11、分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t)%求定积分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3)%用符号积分的方法求定积分(4)double(I)%将上述符号结果转换为数值,例7.7 求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c,例7.8 求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型命令如下：syms t;x=3*t;y=3*t2;z=2*t3;f=diff(x,y,z,t)%求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f)%计算一型积
12、分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1)%计算曲线c的长度,7.3.3 积分变换1.傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t)求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x)求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,例7.9 求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)%求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x)%求Ft的傅立叶逆变换,2.拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx
13、,x,t)求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,例7.10 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)%对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,3.Z变换对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)求fn的Z变换像函数F(z)iztrans(Fz,z,n)求Fz的z变换原函数f(n)例7.20求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。命令如下：syms n zfn=ex
14、p(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)%求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n)%求Fz的逆Z变换,7.4 级数7.4.1 级数的符号求和级数符号求和函数symsum，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn)例7.12 求级数之和。命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf)%求s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)%求s2。未指定求和变量，缺省为ns3=symsum(n*xn,n,1,inf)%求s3。此处的求和变量n不能省略。s4=symsum(n2,1,100)%求s4。计算有限级数的和,7.4.2 函数的泰勒级数M
15、ATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,v,n,a)例7.23求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下：x=sym(x);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);taylor(f1,x,5)%求(1)。展开到x的4次幂时应选择n=5taylor(f2,6)%求(2)。,7.5符号方程求解,7.5.1 符号代数方程求解代数方程是指未涉及微积分运算的方程，相对比较简单。在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(eq)：求解符号表达
16、式表示的代数方程eq，求解变量为默认变量。当方程右端为0时，方程eq中可以不包含右端项和等号，而仅列出方程左端的表达式。solve(eq,v)：求解符号表达式表示的代数方程eq，求解变量为v。solve(eq1,eq2,eqn,v1,v2,vn)：求解符号表达式eq1,eq2,eqn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。若不指定求解变量，由默认规则确定。,7.5.2 符号常微分方程求解,MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分方程eqn1在初值条件condit
17、ion下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。dsolve在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。,例7.16 求微分方程的通解。命令如下：y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x)%解(1)。方程的右端为0时可以不写y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x)%解(2)y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x);%解(3)x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t)%解方程组(4)x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t);%解方程组(5),
