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1、Poisson分布及其应用,一、Possion分布的概念 Possion分布由法国数学家S.D.Possion创立的，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。也可视为观察例数n很大，发生的概率很小时二项分布B（n,）的极限情形。,以一毫升水样中大肠杆菌数为例。设某河中，平均每毫升水中有个大肠杆菌，从该河中随机抽取一毫升水，将1毫升水等分成n个相当于一个大肠杆菌的微小体积，则每个体积中平均大肠杆菌数为/n。这里n很大，每一个微小体积可能是水也可能是大肠杆菌，大肠杆菌数与n之比为p，p很小很小，因此一毫升水样中大肠杆菌数是一罕见事件。,分析：每个体积中只能有两种结果，每个体积中出现大肠杆菌数的概率均为
2、/n。不同体积上大肠杆菌出现与否相互独立。因此，在这n个体积中出现的大肠杆菌数服从二项分布B（n,/n），概率函数为,数学上可以证明，当 n 时，P（X）的极限为,若稀有事件发生数为0，1，2，其相应的概率函数为，则称此变量服从参数为的Poisson分布。,式中，X为观察单位内某稀有事件的发生数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828，为Poisson分布的总体均数，=n 或为观察单位内的平均发生数。,Poisson分布的应用条件必须符合二项分布的三个条件。2 要求或1-接近0或1（例如0.999）,例如，上例中平均每毫升水中有8个细菌，则从该河中随机抽取1毫升水中的细菌数X服从=8的
3、Poisson分布。,求1毫升水中不含细菌的概率，含1个细菌的概率,Poisson分布可视为观察例数n很大，发生的概率很小时二项分布B（n,）的极限情形。当n很大时，二项分布概率的计算相当复杂，利用二项分布的Poisson近似这一性质，当n很大且(0.01)很小时，可以用Poisson分布的概率计算近似代替二项分布的概率计算。,例4-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大？,分析：新生儿先天性心脏病的发病率=8，新生儿人数n=120，其中患先天性心脏病的人数服从二项分布。因为8较小，120较大，也可以认为患先天性心脏病的人数近似地服
4、从Poisson分布。,二、Poisson分布的特征,（1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等，均为。若从该河中随机抽取无数个1毫升水，显然1毫升水中的细菌数X各不相同，这些细菌数X的总体均数即Poisson分布的参数，而且这些细菌数X的总体方差也等于此参数。,（2）Possion分布的观察结果有可加性。若从总体均数为1 的Poisson分布总体中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为X1，再独立地从总体均数为2的Poisson分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为X2，则它们的合计发生数T=X1+X2也服从Poisson分布，总体均数为1+2。上述性质推广到多个P
5、oisson分布的情形，例如，上例中，平均每毫升水含有8个细菌，从该河中独立地取水样5次，每次水样中的细菌数分别为Xi，均服从=8的Poisson分布，那么把5份水样混合，其合计菌落数也服从=40 的Poisson分布，,若已知参数的取值，则可按Poisson分布的概率函数式计算不同X值时的概率，然后以X为横轴，以取值概率P为纵轴，可绘制出Poisson分布的图形。,（3）Poisson分布的图形特征,2 4 6 8 10=2,2 4 6 8 10 12=4,2 4 6 8 10 12 14 16=6,2 4 6 8 10 12 14 16 18=10,由前面的Poisson分布图可见，当总体
6、均数较小时，为偏峰，越小分布愈偏，随的增大，Poisson分布的对称性越来越好。当20时，Poisson分布近似正态分布,利用Poisson分布的正态近似性，可以解决不少Poisson分布的统计推断问题。,三、Possion分布的应用,（一）概率估计,（二）单侧累计概率计算,若稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率为,若稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事件发生次数至少为k次的概率为,例4-8 例4-7中，至多有4人患先天性心脏病的概论有多大？至少有5人患先天性心脏病的概率有多大？,至多有4人患先天性心脏病的概率为,至少有5人患先天性心脏病的概率为,例4-9
7、 实验显示某100cm2的培养皿中平均菌落数为6个，试估计该培养皿中菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。,分析：因培养皿中菌落数服从Poisson分布，因此可用Poisson分布的概率函数来计算,该培养皿中菌落数小于3个的概率,该培养皿中菌落数大于1个的概率,三、Poisson分布的正态近似法 当20时，依据Poisson分布近似正态分布的原理，可以对其总体均数进行推断。,（一）一组样本资料的Z检验,为Poisson分布的总体均数，0为已知的一个定值。,例6-10 某地十年前计划到2000年把孕产妇死亡率降到25/10万以下，2000年监测资料显示，该地区平均而言，每10万例活产儿孕产妇死亡
8、31人，问该地区降低孕产妇死亡的目标是否达到？,（二）两组独立样本资料的Z检验应用条件：两总体均数均大于20,当两样本观测单位数相等时，计算检验统计量为,假设为,当两样本观测单位数不相等时，计算检验统计量为,例6-11 甲、乙两检验师分别观察15名正常人末梢血嗜碱性白细胞数量，每张血片均观察200个视野，结果甲计数到嗜碱性粒细胞26个，乙计数到29个。试问两位检验师检查结果是否一致？,2 计算检验统计量,1 建立检验假设,3 确定P值和做推断,按=0。05水准，尚不能拒绝H0，尚不能认为两检验师检查结果有差异。,例6-12 某车间改革生产工艺前，测得三次粉尘浓度，每升空气中分别有38、29、36颗粉尘；改进工艺后，测取两次，分别为25、18颗粉尘。问工艺改革前后粉尘数有无差别？,因2.7231.96，P0.05，于是在=0.05水准上拒绝H0，可以认为工艺改革前后粉尘浓度不同，改革工艺后后粉尘浓度较低。,
