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1、研究性课题结题课,不等式证明的常用方法,天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！,公式的等价变形,重要不等式,基本不等式,不等式的性质,第一小组：不等式的证明方法比较法,、比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论,第一小组：不等式的证明方法比较法,、比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论,、比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论,证明：,例1：求证：,例2：,求证：,证明：,比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法。一般来说，对于被证的不等式两端是多项式、分式、指数式或对数式时可考虑使用比较法。用比较法证明不等式的步骤中，作差（作商）是依据，变
2、形是手段，判断符号（与1的关系）才是目的。,第二小组：不等式的证明方法综合法,2用综合法证明不等式的逻辑关系是：,1综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法。,3综合法的思维特点是：由因导果,例1：,已知a、b、c是不全相等的正数，求证：,证明：,由于a、b、c不全相等，从而、式也不能全取“=”号，,例2：,证明：,已知a、b、c是不全相等的正数，求证：,（证法一）,例2：,证明：,已知a、b、c是不全相等的正数，求证：,（证法二）,利用综合法由因导果证明不等式时，要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与
3、求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换，这是利用综合法证明不等式的关键。,第三小组：不等式的证明方法分析法,2用分析法证明不等式的逻辑关系是：,1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法。,3分析法的思维特点是：执果索因,欲证结论B成立，只需证结论B1成立，只需证结论B2成立，.只需证结论A成立，而A为已知，故B成立。,4分析法的书写格式：,例1：求证：,证明
4、：,例2：,证明：,根据重要不等式，这是显然成立的,从寻求解题思路来看，分析法利于思考，综合法宜于表达，所以对于较复杂的不等式，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程。有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的。,第四小组：不等式的证明方法换元法,、三角换元,换元法是指对结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的命题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，以达到简化结构、便于研究的形式。,、增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母序(如abc)的不等式，常用增
5、量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。,例1：求证：,证明：,例2：已知,求证：,原不等式得证。,证明：,在使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注意新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。换元的目的是把不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题，起到化难为易、化繁为简的作用。,已知：,求证：,证明一：（比较法）,练习：,练习：,已知：,求证：,证明二：（综合法）,已知：,求证：,证明三：（分析法）,上式显然成立,练习：,已知：,求证：,证明四：（三角换元法）,练习：,观察上式，左边各项都是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑两两结合，分别使用基本不等式。,证明：,一般情况下试题中很少出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，不等式的证明除常用的四种方法外，还有其他方法，如函数的单调性法、判别式法、放缩法以及数学归纳法等，我们在做题中需要注意它们之间的知识交汇联系。,同学们再见！,
