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1、第十章 函数项级数,第一节 函数项级数的一致收敛性第二节 一致收敛级数的判别与性质第三节 幂级数第四节 函数的幂级数展开,第一节 函数项级数的一致收敛性,一、点态收敛二、函数项级数(或函数序列)的基本问题 三、函数项级数(或函数序列)的一致收敛,一、点态收敛考虑（含有参数的数项）级数及其收敛性。,下面的例子说明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。,第二节 一致收敛级数的判别与性质,一致收敛的判别 一致收敛级数的性质处处连续但处处不可导的例子,下图显示不同参数所对应的Weierstrass函数的图像,第三节,一、幂级数的收敛半径,二、幂级数的性质,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、,一、幂级数及收敛半径,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的系数.,即是此种情形.,的情形,即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,发散,Abel第一定理：,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切 x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证:设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0,使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,
3、故假设不真.,的 x,原幂级数也发散.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂级数在(,+)收敛;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;,R=时,幂级数在(R,R)收敛;,(R,R)加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径，,在R,R,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(R,R)称为收敛区间.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理10.3.2.若,的系数满足,证:,1)若 0,则根据比值判别法可知:,当,原级数收敛;,当,原
4、级数发散.,即,时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)若,则根据比值判别法可知,绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1.求幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求下列幂级数的收敛域:,解:(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x=0 处收敛.,机动 目录 上页 下
5、页 返回 结束,例3.,的收敛半径.,解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值判别法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的收敛域.,解:令,级数变为,当 t=2 时,级数为,此级数发散;,当 t=2 时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、幂级数的性质,定理.设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有:,其中,以上结论可用部分和的极限证明.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半
6、径小得多.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 若幂级数,的收敛半径,(证明见第六节),则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:由例2可知级数的收敛半径 R+.,例5.,则,故有,故得,的和函数.,因此得,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发,散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为
7、 1,及,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,解:设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求.,乘法运算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导
8、和求积分.,思考与练习,1.已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少?,答:,根据Abel 定理可知,级数在,收敛,时发散.,故收敛半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在?,答:不能.,因为,当,时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 求极限,其中,解:令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为 1,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数
9、的幂级数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中
10、的余项满足:,证明:,令,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:设 f(x)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动
11、目录 上页 下页 返回 结束,例1.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可推出:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.将函数,展开成 x 的幂级数,其中m,为任意常数.,解:易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数 m,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推导,则,推导 目录 上页 下页 返回 结束,为避免研
12、究余项,设此级数的和函数为,称为二项展开式.,说明：,(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.,(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得,对应,的二项展开式分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:因为,把 x 换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级
13、数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.将,展成,解:,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.将,展成 x1 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 m=1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.函数,处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级,数”有何不同?,提示:后者必需证明,前者无此要求.,2.
14、如何求,的幂级数?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P223 2(2),(3),(5),(6);3(2);4;6,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,例3 附注,备用题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时,此级数条件收敛,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.将,在x=0处展为幂级数.,解:,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1.计算,的近似值,精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算,的近似值,使准
15、确到,解:已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数.如,(n为自然数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.利用,求,误差.,解:先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值,并估计,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(取,例4.计算积分,的近似值,精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.计算积分,的近似值,精确到,解:由于,故所给积分不是
16、广义积分.,若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间,上连续,且有幂级数展开式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、欧拉(Euler)公式,则称 收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于,故知,欧拉 目录 上页 下页 返回 结束,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当 y=0 时,它与实指数函数,当 x=0 时,的幂级数展式一致.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,据此可得,(德莫弗公式),利
17、用幂级数的乘法,不难验证,特别有,作业 P229 1(2),(4);2(2),第六节 目录 上页 下页 返回 结束,欧拉(1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理,积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数,公式和定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,
18、再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,P257 题7.求下列级数的敛散区间:,练习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直
19、接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:原式=,的和.,P258 题9(2).求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.函数的幂级数展开法,2.设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理,当 x=0 时,有,提示:,
