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1、第二章 初等方法建模,2.1 比例分析模型2.2 代数模型2.3 简单优化模型2.4 节水洗衣机,2.1 比例分析模型,2.1.1 包装成本问题2.1.2 划艇比赛成绩,2.1.1 包装成本问题,考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘故。或许有人会问，这是主要原因吗?是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？,问题,研究产品成本如何随包装大小而变化的规律,2.1.1 包装成本问题,模型假设,1）计入批发价格的主要成本是:生产该产品的成本 包装该产品的成本 运输该产品的成本 包装材
2、料的成本,2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变 化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的 费用上.设该产品成本 与所生产的货物重量成正比,记为,其中为产品重量,模型分析与建立,装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体 积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。,2.1.1 包装成本问题,3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.,于是有,每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它 取决于摊平后运输(像纸板之类)还是成型后运输(像玻璃 器皿之类),所以打包者的成本,因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量)与所覆盖的表面积成正比。,模型假设,2.1.
3、1 包装成本问题,6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎 与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，,模型分析与建立,2.1.1 包装成本问题,于是每克的批发成本是,模型分析与建立,由此看出，当包装增大时，即每包内产重量 增大时，每克的成本下降.,现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量重量。,2.1.1 包装成本问题,进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度,因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为,这是W的减函数。,这也是 的减函数。,2.1.1 包装成本问题,直观解释,购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积)增大一倍，每克所
4、节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的钱多。,此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式，因此上述 结论也适用于零售价格。,应用,这里说“倾向于”是因为模型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的,2.1.1 包装成本问题,对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,2.1.2 划艇比赛成绩,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由
5、前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,2.1.2 划艇比赛成绩,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 Sv2成正比,符号：艇速 v,浸没面积 S,浸没体积 A,空艇重 w0,阻力 f,浆手数 n,浆手功率 p,浆手体重 w,艇重 W,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f Sv2,p w,S1/2 A1/3,A W(=w0+nw)n,np fv,2.1.2 划艇比赛成绩,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/9 进行检验
6、,与模型巧合！,2.1.2 划艇比赛成绩,2.2 代数模型,森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？,森林管理问题,模型假设,1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为 0,h1，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为（hk-1,hk，k=2,3,n-1，第n类树木的高度为（hn-1,）；,2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经
7、济价值为 pk,k=2,3,n；,3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分 树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.,森林管理问题,5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类,即第k类的树木可能进入第k+1类，也可能停留 在第k类，进入第k+1类的比例为;,4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长 期后，与砍伐前树木的高度状态相同；,6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.,模型假设,森林管理问题,设 为第t年森林中第k类树木的数量，每年砍伐第k类树木数为,建立模型,S为森林树木总数,没有砍伐时，树木第t+1年的数量是,(2),森林管理问题,有砍伐时，树木第t+1年的数量是,(3),建立模型
8、,森林管理问题,引入树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G和种植矩阵R如下,建立模型,森林管理问题,（2）式和（3）式分别写为,考虑到假设4），又有,（5）,本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。,建立模型,树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G、种植矩阵R,森林管理问题,模型求解,由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即,由（5）式可得,(6),森林管理问题,利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为,(8),为了获得最大的收益,要在条件(1)和(7)式限制下,求（8）式的最大值。,(7),模型求解,森林管理问题,在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，设为k类，,且此时,
9、及（6）式得,解得,模型求解,即,森林管理问题,代入（1）式得,此时，收获树木的价值为,比较各即可获得最佳砍伐方案。,模型求解,森林管理问题,求出对其进行最优采伐的策略。,例题,已知森林具有6年的生长期，,g1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37,p2=50元，p3=100元，p4=150元，p5=200元，p6=250元。,问题,森林管理问题,f2=14.0S,f3=14.7S,f4=13.9S,f5=13.2S,f6=14.0S，比较得f3最大，收益是14.7S。因此应砍伐第三年中的全部树木。,求解,例题,按上述方法计算得,此时，x2=0.475S，森
10、林群体x=(0.525,0.475,0,0,0)T，即第一年树木占树木总数的52.5%，第二年树木占树木总数的47.5%。,森林管理问题,2.3 简单的优化法,2.3.1 存贮问题2.3.2 森林救火,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题指最优解是数(不是函数),建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数,求解静态优化模型一般用微分法,静 态 优 化 模 型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。,已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件
11、1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。,要 求,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。,2.3.1 存贮问题,问题分析与思考,每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。,日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。,10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。,50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。,平均每天费用950元,平均每天费用255
12、0元,10天生产一次平均每天费用最小吗?,每天费用5000元,这是一个优化问题，关键在建立目标函数。,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数,目标函数每天总费用的平均值,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思考,模 型 假 设,1.产品每天的需求量为常数 r；,2.每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为 c2；,3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；,建 模 目 的,设 r,c1,c2 已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。,4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q(t),t=
13、0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.,一周期总费用,每天总费用平均值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A=QT/2,模型求解,求 T 使,模型分析,模型应用,c1=5000,c2=1，r=100,回答问题,经济批量订货公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2，,用于订货、供应、存贮情形,不允许缺货的存贮模型,问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？,T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。,允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失,原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货),现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足,一周期贮存费,一周期缺货费,周期T,t=T1贮存量降到零,一周期总费用,每天总费用平均值（目标函数）,一周期总费用,求 T,Q 使,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T,Q记作Q,不允许缺货模型,记,允许缺货模型,允许缺货模型,注意：缺货需补足,Q每周期初的存贮量,每周期的生产量R（或订货量）,Q不允许缺货时的产量(或订货量),
