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1、计量资料的统计描述 statistical description,本次课内容一、计量资料的频数分布二、集中趋势指标三、离散趋势指标四、正态分布,计量资料（复习）统计描述（statistical description)：对资料的属性、特点进行的有关叙述、显示、计算等，是统计推断的基础。描述必须基于资料的分布(distribution)类型，主要是资料的分布特征。分布类型不同，统计指标不同。,分布：数值在所研究样本（或总体）中的存在状态，通常用频数(frequency)来表示。频数：某变量值出现的次数（某现象发生的次数）。,某市1995年110名7岁男童的身高(cm）频数表,身高(cm)某市1
2、995年110名7岁男童的身高分布直方图,频数表揭示频数的两个重要特征：集中趋势（central tendency):数值高低不等，但中等水平的人数最多。离散趋势（tendency of dispersion):数值之间参差不齐；逐渐变大（或变小）的人数渐少。向两端分散。两方面含义：数值大小和位置。,集中趋势central tendency,平均数（average)：用于描述数值变量资料的集中趋势（平均水平）。特点：简明概括，便于比较。包括：算术平均数，几何平均数，中位数，百分位数,1、算术平均数（arithmetic mean)一组变量值之和除以变量值个数所得的商,简称均数。总体均数，样本均
3、数 表示。适用条件：资料成正态分布（或近似正态，或对称分布）。计算方法：直接法，加权法,直接法：当样本的观察值个数不多时，将各观察值X1，X2，Xn相加再除以观察值的个数n（样本含量）即得均数。公式：,加权法weighted method当观察值个数较多时，可先将各观察值分组归纳成频数表，用加权法求均数。利用频数表，计算组中值（为本组段的下限与相邻较大组段的下限的均值），各组段频数与组中值的乘积，近似等于该组变量值之和，各乘积之和除以总频数，所得的商，就是均数。,加权法计算算数均数的公式,例题：计算算术均数,直接法：略,加权法,均数的两个重要属性：（1）各离均差（各观察值与均数之差）的总和等于
4、零。（2）离均差的平方和小于各个观察值X与任何数a()之差的平方和。均数是一组观察值理想的代表值。,均数的应用：（1）只能在合理分布的基础上，对同质事物求均数才有意义，才能反映事物的特性。（2）均数最适用于对称分布，尤其是正态分布资料。此时，均数位于分布的中央，能反映观察值的集中趋势。,2、几何均数geometric mean G将n个观察值的乘积再开n次方的方根（或各观察值对数值均值的反对数）。适用条件：（1）观察值为非对称分布，差距较大，用算术均数表示其平均水平会受少数特大或特小值影响；,（2）数值按大小顺序排列后，各观察值呈倍数关系或近似倍数关系。如：抗体滴度，药物效价等几何均数是算数均
5、数的近似值。,直接法:当观察例数不多时采用。加权法：观察例数多时采用。,为什么滴度资料的几何均数需校正？,假设有13人接种疫苗后抗体滴度为：1/20，1/20，1/40，1/40，1/40，1/80，1/80，1/80，1/80，1/80，1/80，1/160，1/320可以证明，这种取下限值的计算，会使得到的几何均数偏小，即：几何均数在取反对数之前偏小半个组距（在作d倍稀释时就是1/2lgd）。,几何均数的应用：（1）常用于等比级数资料，滴度，效价，卫生事业平均发展速度，人口几何增长，对数正态分布资料；（2）观察值不能有0；（3）观察值不能同时有正值和负值。（4）同一组资料求得的几何均数小于
6、算术均数。,几何均数的计算,3，4，5，6，17，算数均数：几何均数：,3、中位数（median,M)：位于中间位置上的数值。把一组观察值，按大小顺序排列，位置居中的变量值（奇数个）或位置居中的两个变量值的均值（偶数个）。是位置指标，以中位数为界，将观察值分为两半，有一半比它大，一般比它小。,中位数适用于：（1）资料偏态分布；（2）两端无确定数值；（3）资料分布不清楚；潜伏期，毒物测定值等用中位数表示其集中趋势。,中位数的算法：未分组资料，依变量个数定。,分组资料，用下公式。L:中位数所在组的下限W:中位数所在组的宽度f:中位数所在组的频数（例数）n:总频数C:中位数所在组的前一组的累计频数,
7、中位数常用于描述偏态分布资料的集中趋势，它反映居中位置的变量值的大小。不受特大，特小值的影响，只受位置居中的观察值的影响，因而不够敏感。而均数，几何均数是由全部观察值综合计算出的，敏感性好。理论上，中位数等于算术均数。,例题：中位数的计算 P24,4、百分位数(percentile,P)：位于某个百分位置上的数值。把一组数据从小到大排列，分成100等份，各等份含1%的观察值，处在分割界线上的数值，就是百分位数，Pr 表示。,百分位数将总体或样本的全部观察值分为两部分，理论上有r%的观察值比它小，有（100-r）%的观察值比它大。如含量为n的样本，P5即表示：理论上有n5%个观察值比P5小，有n
8、95%个观察值比P5大。常用的百分位数：5，25，75，95 分位数。,百分位数频数表法计算：Pr:百分位数；L:该百分位数所在组段的下限；W:组距；f:该百分位数所在组段的频数；C:小于L的各组段的累积频数；n:样本数中位数是特殊的百分位数。,图解法计算百分位数,也可用图解法:横轴:变量值;纵轴:累计百分数 p25,百分位数常用于描述一组资料在某百分位置上的水平和分布特征。多个百分位数结合使用，可更全面地描述总体或样本的分布特征，包括位置大小和变异度。,例题：百分位数的计算，P25,百分位数常用于确定医学正常值范围（normal range)。医学正常值范围，不用样本观察值的极差，习惯上用包
9、括95%正常人的界值，百分位数是数列的百分界值。如：白细胞数的确定，过高，过低都属异常，故计算P2.5，P97.5,为双侧的正常值范围。,如：肺活量95%正常值范围，只有过低算异常，故计算P5.如：尿铅,过高为异常，故计算P95.,一般地说，分布中部的百分位数相当稳定，具有较好代表性，靠近两端的百分位数，只在样本含量足够大时，才稳定，故样本量不够大时，不应取太近两端的百分位数。以上是集中趋势指标。,脑筋急转弯：请看下面数据，有问题吗？,A:8 9 10 11 12B:3 7 10 13 17,两组均数都为10，但离散程度不同，B组较大。均数只反映平均水平，不能反映离散度。,离散趋势tenden
10、cy of dispersion,全距，四分位数间距，方差，标准差，变异系数。全距（Range)：极大与极小值之差。全距大，资料离散程度大，但易受极端值大小的影响。样本量越大，抽到极端值的可能性越大，全距可能会越大。故：全距不宜单独使用。,四分位数间距（quartile interval Q)：将一组资料分为四等份，上四分位数P75和下四分位数P25之差，叫四分位数间距。意义：Q越大，离散程度越大，通常用于描述偏态分布资料的离散程度。,优点：比全距稳定；若资料一端或两端无确切数值，只能选择Q作为离散指标。缺点：未考虑全部观察值，不能全面反映资料离散趋势。,方差（variance)和标准差(st
11、andard deviation SD)对总体而言，为了克服极差和四分位数间距的缺点，要描述资料的离散趋势，必须考虑到各个观察值，离均差的平方和是最好的指标，,总体方差：样本方差：,为了消除例数的影响，其取均值，就是方差。,标准差：方差的平方根的正值。总体的标准差：样本的标准差：自由度=n-1,自由度：一组数据中可以自由取值的数据的个数。当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。,样本方差除以自由度，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量.,样本的标准差：,血红蛋白数据标准差的计算
12、：,分组资料的标准差计算,方差，标准差意义：方差，标准差越大，变异程度越大。其值越小，观察值的离散度越小，用均数反映平均水平的代表性越好。,了解一下：离均差平方和,是表示某变量总变异的一种形式，即：,关于离均差平方和的三条规则,1、原始数据加（减）一个数，离均差平方和或积和不变。2、原始数据除以一个数，则简化计算出的离均差平方和要乘上该数的平方。3、如将两变量之一除以一个数，则离均差积和要乘以该数；如同时另一变量也除以一个数，则离均差积和要同时乘上该两数。,标准差应用,（1）反映一组观察值的离散程度：直接比较标准差：数值单位相同;计算变异系数：数值单位不同;,变异系数（coefficient
13、of variation,CV)也称离散系数（coefficient of dispersion)标准差与均数之比用百分数表示。公式：,常用于比较度量单位不同或均数相差悬殊的资料的变异。同时考虑了均数和标准差，更客观。比如：身高，体重的变异比较；,（2）估计变量值的频数分布正态曲线，正态分布normal distribution,（3）计算标准误（4）估计医学正常值范围：双侧：均数 1.96倍标准差单侧：均数 1.645倍标准差,概念：又称高斯分布。频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称，靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少，形成一个中间多，两侧逐渐减少，基本对称的分布。是一种连续型分布
14、。,正态分布(normal distribution),当样本量扩大，组段分细，频数分布图中的直条变窄，表现出中间高，两侧逐渐降低，并完全对称的特点；如果将各直条顶端的中点连线，就接近于一条光滑的曲线，称为正态曲线。用N(,)表示，其位置与均数有关，形状与标准差有关。,医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布。如：正常人的生理，生化指标变量，等。,高斯(Johann Carl Friedrich Gauss）,生于1777年4月30日于不伦瑞克，卒于1855年2月23日于哥廷根，德国著名数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家。被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。,几种常见的频数分布,正
15、态分布之所以重要,原因很多,三个主要的原因:1.正态分布在分析上较易处理。2.正态分布之.的图形为钟形曲线(bell-shaped curve),再加上对称性,使得很适合当做不少事件之机率模式。3.正态分布可当做不少大样本的近似分布。概率密度函数（p.d.f.，probability density function）描述了随机变量的机率分布，为累积分布函数的导函数。,概率密度函数（p.d.f.，probability density function）,对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数fX(x)都可以被定义为其概率密度函数：随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分
16、表示：而 是X的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。,从直方图到正态曲线的过渡,正态分布的两个参数：,决定了曲线的形状和位置,正态分布的密度函数（概率密度函数 probability density function,p.d.f）：式中为均数；为标准差；为圆周率；为自然对数的底，即2.71828。以上均为常数，仅x为变量。,标准正态分布:为了应用方便，常将式进行变量变换，u变换,u变换后，=0，=1，使原来的正态分布变换为标准正态分布（SND,standard normal distribution）亦称u分布。,标准正态分布的概率密度函数：,正态分布曲线的模拟,正态分布的特征和分布规
17、律：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=时，曲线位于最高点。（2）曲线关于直线x=左右对称。（3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正态的参数分别为:0,1（4）正态曲线在 1,标准正态曲线在 1处各有一个拐点,（5）正态分布的面积分布有一定规律。,正态曲线下面积的分布规律正态曲线下，横轴上一定区间的面积,等于该区间的频数发生的概率。面积可用积分求得。F(x)为正态变量X 的累计分布函数，反映正态曲线下，自-到x的面积，即左侧累计面积。,统计学家已经按（4）编成了附表，标准正态分布曲线下的面积。应用时注意：（1）当总体，已知时，先计算u值，再用u值查表，得出所求区间面积占总面积的比
18、例。如果未知，常分别用样本均数和样本标准差来估计。（2）曲线下对称于0的区间，面积相等。如：区间（，-2.58）与区间（2.58，）的面积相等。（3）曲线下横轴上的总面积为100%或为1。根据后两个特征，可计算右侧累计面积。正态分布表的用法 P545,单侧，双侧的概念：以均数为对称轴，只考虑低于（或高于）某值，为单侧；若关心数值可高，可低，为双侧。,正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律,标准正态曲线下任意区间的面积有规律,（-1，1），68.27%,（-1.96，1.96），95%,（-2.58，2.58），99%,双侧概率,单侧概率,正态曲线下面积的分布规律的应用：一、确定医学参考值范围
19、意义:是正常人指标测定值的波动范围，可用于划分正常，或异常。步骤：1、抽样 2、控制测量误差 3、取单侧或双侧 4、选定合适的百分界限 5、资料正态性检验 6、进行参考值估计,确定医学参考值范围常用方法：,正态分布法对数正态分布法百分位数法,95%正常值范围的估计,正常值范围的上下限,单侧下限,单侧上限,双侧界限,例：用正态分布法求血糖值95%的参考值范围。解：1、求样本的均数4.653、标准差0.401。2、按照双侧95%范围，确定参考值范围为：3、将样本的均数、标准差数值代入计算，得出范围。,二、确定概率分布：例：某市2000年110名7岁男童身高，已知均数=119.95厘米，标准差S=4.72厘米，估计：该地7岁男童身高在110厘米以下者占该地7岁男童总数的百分数。按：求u值，查表（p545)：找到-2.1，上方找到0.01，二者相交处为0.0174，概率为0.0174=1.74%，即该地7岁男童身高在110厘米以下者，估计占1.74%，不到2%。,三、质量控制：实验中，常以 作为上下警戒值，以 作为上下控制值。正态分布是很多统计方法的理论基础,本次课程结束，谢谢！,
