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1、7-5 平面及其方程,平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。,确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。,先介绍平面的点法式方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,平面的点法式方程,其中法向量,已知点,若取平面的另一法向量,此时由于,平面方程为,平面上的点都满
2、足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,解,所求平面方程为,化简得,一般地,过不共线的三点,的平面的法向量,平面方程为,三点式方程,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件
3、）,解,化简得,令,所求平面方程为,例6,解一,用点法式,设所求平面的法向量为,由点法式得，所求平面的方程为,即,解二,用一般式,因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为,在平面上,解得,所求平面方程为,即,由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：两定定点，定向,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例7 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,例8,解,设所求平面的法向量为,又所求平面与已知平面垂直,解得,代入点法式方程并整理得,解,点到平面距离公式,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,思考题,思考题解答,
