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1、第四章 平面问题的极坐标解答,要点：,（1）极坐标中平面问题的基本方程：,平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。,（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用,应用：,圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。,4-1 极坐标中的平衡微分方程,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,4-4 应力分量的坐标变换式,4-5 轴对称应力与相应的位移,4-6 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞,4-7 压力隧洞,4-8 圆孔的孔口应力集中,4-9 半平面体在边界上受法向集中力,4-10 半平面体在边界上受法向分布力,主 要 内 容,4-1
2、极坐标中的平衡微分方程,1.极坐标中的微元体,体力：,应力：,PA面,PB面,BC面,AC面,应力正向规定：,正应力 拉为正，压为负；,剪应力 r、的正面上，与坐标方向一致时为正；,r、的负面上，与坐标方向相反时为正。,2.平衡微分方程,考虑微元体平衡（取厚度为1）：,将上式化开：,两边同除以：,两边同除以，并略去高阶小量：,剪应力互等定理,两边同除以,当 dr,d0 时，有,于是，极坐标下的平衡方程为：,（41）,方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,1.几何方程,(1)只有径向位移，无环向位移。,
3、径向线段PA的相对伸长：,（a）,径向线段PA的转角：,（b）,线段PB的相对伸长：,（c）,环向线段PB的转角：,（d）,径向线段PA的相对伸长：,（a）,径向线段PA的转角：,（b）,环向线段PB的相对伸长：,（c）,环向线段PB的转角：,（d）,剪应变为：,（e）,(2)只有环向位移，无径向位移。,径向线段PA的相对伸长：,（f）,径向线段PA的转角：,（g）,环向线段PB的相对伸长：,环向线段PB的转角：,（h）,（i）,剪应变为：,（j）,径向线段PA的相对伸长：,（f）,径向线段PA的转角：,（g）,环向线段PB的相对伸长：,（h）,环向线段PB的转角：,（i）,剪应变为：,（j）
4、,(3)总应变,整理得：,（42）,极坐标下的几何方程,2.物理方程,平面应力情形：,平面应变情形：,（43）,（44）,弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：,平衡微分方程：,（41）,几何方程：,（42）,物理方程：,（43）,(平面应力情形),边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：,弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：,平衡微分方程：,几何方程：,物理方程：,(平面应力情形),边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,弹性力学平面问题直角坐标下的基本方程,直角坐标下按应力求解平
5、面问题的基本步骤,（常体力情形）,应力函数的求解方法：,（1）逆解法；,（2）半逆解法。,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,（1）极坐标下应力分量 与应力函数 的关系；,（2）极坐标下应力函数 表示的相容方程的形式。,本节要点：,1.直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）,应力分量的求取：,由平衡微分方程（无体力情形）：,应力相容方程的求取：,由应变协调方程（相容方程）：,将物理方程、平衡微分方程代入，化简得：,（2-22）,代入应力分量式（2-28），得：,应力函数表示的相容方程,(2-27),（2-25）,平衡微分方程：,直角坐标下Laplace 算子,（1）极坐标与直角坐标间的
6、关系：,（2）应力分量的坐标变换：,2.极坐标下的应力分量与变形协调方程（相容方程）,(a),(b),(c),由直角坐标下应力函数与应力的关系（226）：,（45）,可以证明：式（45）满足平衡方程（41）。,说明：,（3）相容方程的坐标变换：,极坐标下应力分量 与应力函数 的关系：,式（45）仅给出体力为零时的应力分量表达式！,作为作业！,直角坐标下Laplace 算子,在极坐标下Laplace 算子的形式？,(a),(b),将式(a)与(b)相加，得,（3）相容方程的坐标变换：,得到极坐标下的 Laplace 微分算子：,极坐标下的相容方程为：,（46）,方程（46）为常体力情形的相容方程
7、。,注意：,极坐标下应力函数表示的相容方程,弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:,小结：,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,4-4 应力分量的坐标变换式,(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量,（48）,(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量,（49）,轴对称问题：,（46）,由式（45）和（46）得应力分量和相容方程为：,（410）,应力分量：,相容方程：,4阶变系数的常微分方程,4-5
8、轴对称应力与相应的位移,（411）,轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D 为待定常数。,1、应力分量:,（410）,将方程（4-11）代入应力分量表达式,（412）,轴对称平面问题的应力分量表达式,对上式积分四次,得通解:,2.位移分量,对于平面应力问题，有物理方程,（a）,积分式（a）中第一式，有,（b）,是任意的待定函数,将式（b）代入式（a）中第二式，得,将上式积分，得:,（c）,是 r 任意函数,将式（b）代入式（a）中第三式，得,或写成：,要使该式成立，两边须为同一常数。,（d）,（e）,式中F 为常数。对其积分有：,（f）,其中 H 为常数。对式（e）两边求导,其解为：,（g）
9、,（h）,将式（f）（h）代入式（b）（c），得,（b）,（c）,（4-13）,平面轴对称问题小结：,（411）,（1）,应力函数,（2）,应力分量,（412）,（3）,位移分量,（4-13）,式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。,由式（4-13）可以看出：,应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。,但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。,这 时，物体内各点都不会,有环向位移，即不论 r 和 取何值，都应有：。,对这种情形，有,式（4-13）变为：,4-13（a）,4-6 圆环或圆筒受均布压力,1.圆环或圆筒受均布压力,已知
10、：,求：应力分布。,确定应力分量的表达式：,边界条件：,（a）,将式（4-12）代入，有：,（b）,式中有三个未知常数，二个方程不能确定。,对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。,要使单值，须有：B=0，由式（b）得,将其代回应力分量式（4-12），有：,（4-14）,（1）若：,(二向等压情况),（2）若：,（压应力）,（拉应力）,（3）若：,（压应力）,（压应力）,（4）若：,具有圆形孔道的无限大弹性体。,边缘处的应力：,问题：,厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。,1.分析：,与以前相比较，相当于两个轴对称问题：,(a)受内压 q、外压 p作用的厚壁圆筒；,(b
11、)仅受内压 p 作用的无限大弹性体。,确定压力 p 的两个条件：,径向变形连续：,径向应力连续：,2.求解,4-7 压力隧洞,2.求解,(1)圆筒的应力与边界条件,应力：,（a）,边界条件：,(2)无限大弹性体的应力与边界条件,应力：,（b）,边界条件：,将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：,4个方程不能解5个未知量，,需由位移连续条件确定。,上式也可整理为：,(c),(d),利用：,(e),要使对任意的 成立，须有,(f),对式（f）整理有，有,(g),式（g）中：,将式（g）与式（c）（d）联立求解,（4-16）,当 n 1 时，应力分布如图所示。,讨论：,（1）,压力隧洞
12、问题为最简单的接触问题（面接触）。,完全接触：,接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为,应力：,位移：,（2）,非完全接触（光滑接触）,应力：,位移：,接触条件：,当 n 1 时，应力分布如图所示。,压力隧洞的应力分布,讨论：,（1）,压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。,完全接触：,接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为,应力：,位移：,（2）,非完全接触（光滑接触）,应力：,位移：,接触条件：,4-8 圆孔的孔口应力集中,1.孔边应力集中概念,由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。,称为孔边的应力集中。,应力集中系数：,与孔
13、的形状有关，是局部现象；,与孔的大小几乎无关。,（圆孔为最小，其它形状较大）,2.孔边应力集中问题的求解,（1）问题：,带有圆孔的无限大板(B a)，圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。,求：孔边附近的应力。,（2）问题的求解,问题分析,坐标系：,就外边界（直线），宜用直角坐标；,就内边界（圆孔），宜用极坐标。,取一半径为 r=b(ba），在其上取一点 A 的应力：,原问题转化为：,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。,新问题的边界条件可表示为：,内边界,外边界,（a）,问题1,（b）,（c）,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分：,问题1的解：,该问题为轴对称问题，其解为,当
14、 ba 时，有,（d）,问题2的解：,（非轴对称问题）,由边界条件（c），可假设：为 r 的某一函数乘以；为r 的某一函数乘以。,又由极坐标下的应力分量表达式：,可假设应力函数为：,将其代入相容方程：,与前面类似，,该方程的特征方程：,特征根为：,方程的解为：,相应的应力分量：,对上述应力分量应用边界条件（c）,有,（e）,求解A、B、C、D，然后令 a/b=0，得,代入应力分量式（e）,有,（f）,将问题1和问题2的解相加,得全解：,（4-17）,讨论：,（1）,沿孔边，r=a，环向正应力：,（4-18）,（2）,沿 y 轴，=90，环向正应力：,齐尔西（G.Kirsch）解,（3）,沿 x
15、 轴，=0，环向正应力：,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用,叠加后的应力：,（4-19）,（5）,任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。,只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：,圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结:,原问题的转换：,轴对称问题,非轴对称问题,4-9 楔形体的楔顶与楔面受力,1.楔顶受有集中力P作用,楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P，与中心线的夹角为，求：,（1）应力函数的确定,因次分析法：,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,（a）,将其代入相容方程，以确定函数：,得：,4阶常系数齐次的常
16、微分方程,其通解为：,其中A，B，C，D为积分常数。,将其代入前面的应力函数表达式：,（4-20）,（对应于无应力状态）,（2）应力分量的确定,边界条件：,（1）,自然满足,（2）,楔顶的边界条件：,（b）,将式（b）代入，有：,积分得：,可解得：,代入式（b）得：,（4-21）,密切尔（J.H.Michell）解答,两种特殊情况：,（1）,（2）,两种情况下的应力分布：,应力对称分布,应力反对称分布,（3）,无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用,2.楔顶受有集中力偶 M 作用,（1）应力函数的确定,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,将其代入相容方程：,（c）,（4-22）,（
17、2）应力分量的确定,考虑到：,反对称载荷下，对对称结构有：,为奇函数；,而 则为偶函数。,由应力函数 与 关系可知，,应为奇函数。即,将其代入应力分量表达式，得到,（d）,边界条件：,（1）,自然满足,（e）,（2）,代入应力分量表达式（d）,得：,（4-23）,英格立斯（C.E.Inglis）解答,说明：,另外两个边界条件，一定自动满足。,楔顶的边界条件：,特殊情况：,说明：,前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶 M 的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基
18、本方程不再适用。,前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。,3.楔形体一侧面上受有均布面力 作用,（1）应力函数的确定,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,将其代入相容方程：,（f）,得到：,该方程的解为：,（4-24）,（2）应力分量的确定,（g）,边界条件：,由此可确定4个待定常数。,可求得：,将常数代入应力分量表达式，有,（4-25）,特殊情况：,若用直角坐标表示，利用坐标变换式：,楔形体（尖劈）问题应力函数的构造小结：,4-10 半平面体在边界上受法向集中力,1.应力分量,由楔形体受集中力的情形，可以得到,（4-26）,极坐标表示的应力分量,利用极坐标与直角坐标的
19、应力转换式（4-7），可求得,（4-27）,或将其改为直角坐标表示，有,（4-28）,2.位移分量,直角坐标表示的应力分量,假定为平面应力情形。,其极坐标形式的物理方程为,（4-29）,(a),(b),(c),积分式（a）得，,(d),将式（d）代入式（b），有,积分上式，得,(e),将式（d）(e)代入式（c）得，,(d),(e),(c),要使上式成立，须有：,不妨令=0，可解得：,代入位移分量式（d）（e），有,式中，常数H，I，K 由边界条件确定。,(f),常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。,由式（f）得：,(g),由问题的对称性，有：,3.边界沉陷计算,M点的下沉量：,由于
20、常数 I 无法确定，,所以只能求得的相对沉陷量。,为此，在边界上取,一基准点B，如图所示。,M点相对于基准点B的沉陷为,简化后得：,（4-30）,符拉芒（A.Flamant）公式,对平面应变情形：,4-11 半平面体在边界上受法向分布力,1.应力分量,dP 作用在原点O，则有,dP 作用在距原点 时，,将此式在 AB 区间上积分，得,（4-31）,式中，需将分布力集度 q 表示成 的函数，再进行积分。,2.边界点的相对沉陷量,讨论均匀分布的单位力的情形。,计算分布力中点 I 相对于 K 点的沉陷量：,(a),(a),对 r 积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。,当基准点K位于均布力之外时，沉陷
21、量为,为简单起见，假定基点 K 取得很远，即院 s 远大于r，积分时可视 s 为常数，积分结果为：,(4-32),其中常数 C、Fki 的值为：,(b),(c),平面问题极坐标求解方法小结,一.基本方程,1.平衡方程,（41）,2.几何方程,（42）,3.物理方程,平面应力情形,(43),4.边界条件,位移边界条件：,应力边界条件：,二、按应力求解基本步骤,（46）,(2),由式（45）求出相应的应力分量：,（45）,(3),位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知位移，,为边界上已知的面力分量。,（位移单值条件）,三、平面轴对称问题的求解方法逆解法,（412）,应力函数：,应力分量：,位
22、移分量：,(4-13),四、非轴对称问题的求解方法半逆解法,1.圆孔的孔边应力集中问题,原问题的转换：,轴对称问题,非轴对称问题,2.楔形体问题,由因次法确定 应力函数的分离变量形式,（1）楔顶受集中力偶,（2）楔顶受集中力,（3）楔形体一侧受分布力,4.半平面问题,五、叠加法的应用,（1）有一薄壁圆筒的平均半径为 R，壁厚为 t，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,（2）已知圆环在 r=a 的内边界上被固定，在 r=b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。,课堂练习：,作 业,习题：4-6，4 7，4 8，4 9,取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：,作 业,习题：4-1，4 2，4 3,补充题：,列写下列平面问题的应力边界条件。,
