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1、,复习-圆,圆、与圆有关的位置关系（1）,、圆的基本元素:圆心、半径,、圆的对称性:圆的旋转对称性、圆是中心对称图形、圆是轴对称图形.,3、圆周角、圆心角、弦、弦心距的关系:定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦、所对弦心距的也相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦、两条弦心距中有一组量相等,那么它 们所对应的其余各组量都分别相等.,4、过三点的圆:(1)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆.(2)三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点.,5、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,圆的相关概念,填空、1、在同圆或等圆中，如果圆心角
2、相等，那么它所对的弧_，所对的弦_；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么_相等，_相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么_相等，_相等；、垂径定理：_。、半圆或直径所对的圆周角都是_。、的圆周角所对的弦是_。、在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于该弧所对的_的一半，相等的圆周角所对的_相等。,如图，在O中，AB是O的直径，AOC130，则D的度数为_,一、垂径定理,AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”,若 CD是直径,CDAB,1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,2、垂径定理的逆定理,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,垂径定理
3、及推论,直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.,知二得三,注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?(),错,例1、O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_.,2cm,或14cm,挑战自我想一想,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,例2：如图，圆O的弦AB8，DC2，直径CEAB于D，求半径OC的长。,垂径,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.,例3：如图，已知圆
4、O的直径AB与 弦CD相交于G，AECD于E，BFCD于F，且圆O的半径为 10，CD=16，求AE-BF的长。,练习3:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,图中相等的线段有:,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB,OD=OD,AOB=AOB,二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系,三、圆周角定理及推论,90的圆周角所对的弦是.,定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.,推论:直径所对的圆周角是.,直角,
5、直径,判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.,(),(),(),1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60，ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、AB、AC是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（）；A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定3、如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么BOC等于()；A150 B130 C120 D604、在ABC中，A70，若O为ABC的外心，BOC=；若O为ABC的内心，BOC=图1图2,1、两个同心圆的直径分
6、别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_ cm；2、如图1,已知O，AB为直径，ABCD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来；3、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；4、已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为（）A.AB=2CD；B.AB2CD；D.不能确定图1图2,四、点和圆的位置关系,不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）,圆内接四边形的性质：（1）对角互补；
7、（2）任意一个外角都等于它的内对角,反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确,1、O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（）A点A在O内部 B点A在O上C点A在O外部 D点A不在O上2、M是O内一点，已知过点M的O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_ cm.3、圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是（）A、1234 B、1324 C、4231 D、4213,练：有两个同心圆，半径分别为和r，是圆环内一点，则的取值范围是.,rOPR,1、直线和圆相交,d r;,d r;
8、,2、直线和圆相切,3、直线和圆相离,d r.,五.直线与圆的位置关系,=,切线的判定定理,定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,C,D,O,A,如图OA是O的半径,且CDOA,CD是O的切线.,判定切线的方法：,（）定义,（）圆心到直线的距离d圆的半径r,（）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的判定定理的两种应用,1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可,切线的性质定理,圆的切线垂直于过切点的半径.,
9、CD切O于,OA是O的半径,C,D,O,A,CDOA.,切线的性质定理也可理解为,如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。经过切点、垂直于切线、经过圆心。,如,任意两个,1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_；3、下列四个命题中正确的是（）与圆有公共点的直线是该圆的切线；垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A.B.C.D.,例1、如
10、图，已知：AB为O的直径，直线AC和O相切于A点，AP为O的一条弦求证:CAP=B,另外，如右上图，若将条件改为AB为O的弦，那么结论还成立吗？说明理由。,证明：,直线AC和O相切于A点，AB为O的直径,CAB=90，P=90,1,1+CAP=90，1+B=90,CAP=B,思路：连结AO并延长，交O于D点,连结PD,由得，CAP=D,而D=B,CAP=B,返回,例2、如图,在RtABC中,BCA=90,以BC为直径的O交AB于点P,Q是AC的中点.判断直线PQ与O的位置关系,并说明理由.,解：猜想直线PQ与O相切，理由如下：,连结OP，CP,BC为O的直径,BPC=APC=90,在RtACP
11、中,Q为斜边AC的中点,PQ=CQ,1=2,OP=OC,3=4,而BCA=90即1+3=90,2+4=90,即OPPQ,(又OP为O的半径)PQ为O的切线,连结OP、OQ，利用三角形中位线去说明也可以。,返回,另解：,例3.已知,如图,D(0,1),D交y轴于A、B两点,交x轴负半轴于C点,过C点的直线:y=2x4与y轴交于P.试猜想PC与D的位置关系，并说明理由.,判断在直线PC上是否存在点E，使得SEOC=4SCDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.,解：,令x=0，得y=-4;令y=0,得x=-2,C(-2,0),P(0,-4),又D(0,1),OC=2,OP=4,OD=1
12、,DP=5,在RtCOD中,CD2=OC2+OD2=4+1=5,在RtCOP中,CP2=OC2+OP2=4+16=20,在CPD中,CD2+CP2=5+20=25,DP2=25,CD2+CP2=DP2,CDP为直角三角形,且DCP=90,PC为D的切线.,直线y=-2x-4,思考：,返回,PC是O的切线，理由如下：,解：假设在直线PC上存在这样的点E(x0,y0),使得SEOC=4S CDO，,E点在直线PC：y=-2x-4上，,当y0=4时有：,当y0=-4时有：,在直线PC上存在满足条件的E点，其的坐标为(-4,4),(0,-4).,返回,课堂练习：,已知：如图，AB是O的直径，P是O外一
13、点，PA是O的切线，弦BCOP，请判断PC是否为O的切线，说明理由,返回,如图，AB是O的弦，OCOA交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与O有怎样的位置关系？并证明你的结论,已知：如图，A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，,（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD=450，OC=2，求弦CD的长,交点个数 名称,0,外离,1,外切,2,相交,1,内切,0,内含,同心圆是内含的特殊情况,d,R,r 的关系,d,R,r,d R+r,d=R+r,R-r d R+r,d=R-r,d R-r,六.圆与圆的位置关系,两圆有多种位置关系，
14、图中不存在的位置关系是,O的半径为3cm，点M是O外一点，OM=4 cm，则以M为圆心且与O相切的圆的半径是,A,B,C,O,七.三角形的外接圆和内切圆：,A,B,C,I,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。,三角形外接圆的圆心叫三角形的外心,三角形三边垂直平分线的交点,三角形三内角角平分线的交点,到三角形各边的距离相等,到三角形各顶点的距离相等,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.,三角形的外心是否一定在三角形的内部？,补充：各边都和圆相切的四边形叫做圆的外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆,性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等
15、,例：圆外切等腰梯形的腰长为6，则此梯形的周长是.,24,一、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；（）2、直角三角形的外心是斜边的中点（）二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比三、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆,6.5cm,2cm,2:1,C,四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_,30cm,如图，O是ABC的外接圆，已知ACO30
16、，求B的度数,如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC=13,BC=24，求O的半径,从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,切线长定理及其推论:,直角三角形的内切圆半径与三边关系.,三角形的内切圆半径与圆面积.,PA,PB切O于A,B PA=PB 1=2,1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.,60度,30或150度,2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果 AOC=140，求 B的度数,3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_.,D,解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.AO
17、C=140 D=70 B=180 70=110,2或4cm,如图，I是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，DEF50，求A的度数,4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？,A,B,C,P,5、如图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？,O,7,14,综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径,6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？,补充：若B=70,则DOE=,E,40,7、如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DEBC于E证明:DE是圆O的切线.,
