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1、,一、连续函数的运算法则,第八节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第二章,定理2.连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,内连续 单调 递增,其反函数,在,内也连续
2、单调递增.,证:设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,指数函数,可看成由连续函数链,复合而成,因而指数函数,在 R 内连续.,由反函数的连续性知,对数函数 在其定义域 R+内亦连续.,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续
3、区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在函数 f 连续的条件下,如果已知f(x)在点x0连续,则给出了求极限的一种方法,这就是:,另外,在f 连续的条件下,求复合函数极限的公式可改写为,利用这个公式可以解决一系列极限计算问题.,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.证明,例5:求,例6.求,例7:求,例8.求,解:,原式,说明:若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等价地:当,例9:设,解:左边=,例10.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,例11.设函数,于x=0 处连续，且对任意实数x，有,证明 f(x)是常数函数.,证明:由条件,可以推出,由 x 的任意性即知：f(x)=f(0).,
