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1、第七章 间接平差,本章主要介绍三个问题：间接平差原理；误差方程；精度评定。,测量平差过程:,观测值,数学模型,平差估计准则,法方程,平差值,精度评定,7-1 间接平差原理,回顾关于间接平差：何谓间接平差？建立间接平差的函数模型有何要求？函数模型的一般式如何？,间接平差的函数模型(观测方程)为：,间接平差的随机模型为：,平差准则：,误差方程为：,关于间接平差函数模型,间接平差时，一般对参数都要取近似值,即：将近似值代入观测方程（函数模型）后，得：令：则得到误差方程：,关于近似值的选择,选取近似值的目的:为了便于计算（使误差方程的常数项变小）。选取方法：1、如果参数是观测量的平差值，就选该观测值为
2、近似值；2、如果参数是非观测值，就选由观测值来计算得到的参数值为近似值。,一、基础方程及其解,思考：怎样求得 和V？,按数学上求自由极值的方法，得：转置后得：基础方程为：法方程：或简写为：,解法方程：回代入误差方程求得改正数V：平差结果：,法方程的特点：,个数：t个；未知数是所选参数（与条平？）系数的构成：1、由误差方程的系数以及观测值的权阵组成：2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆（凯利逆）。法方程的常数项：由误差方程的系数、误差方程的常数项以及观测值的权阵组成，即：法方程为：,二、按间接平差法求平差值的计算步骤,1、选参数；2、列出误差方程；3、组成法方程；4、解算法方程，求参数；5、由误
3、差方程计算V并求平差值。,例7-1.,试按间接平差法求待定点的高程。,例7-2.（习题集P46）,试按：（1）条件平差法求待定点的高程；（2）间接平差法求待定点的高程；（3）附有参数的条件平差法求待定点的高程；,结论：一个平差问题，无论采用哪种平差方法，其最小二乘解是唯一、一致的，即与具体平差方法无关！,作业：P52,例7-3.观测数据如图示，试列立误差方程。,例7-4.试列立误差方程。,例7-5.试列立误差方程。,（测角网）,例7-8.观测三条边长，试列立误差方程。,（测边网）,例7-9.试列立误差方程。,（导线测量）,7-2 观测方程阐述经常遇到的几种间接平差函数模型：以方向为观测值；以角
4、度为观测值；以边长为观测值；（三角网）以数字化坐标为观测值的拟合模型等。,坐标平差：三角网进行间接平差时，通常取待定点的坐标为参数，通过平差直接求得待定点的坐标平差值，这种平差法亦称为坐标平差。,下图为一方向观测的三角网，则按间接平差法如何建立误差方程？,一、测方向三角网函数模型,j,h,k,Ljh,Ljk,Zj,(Xh,Yh),(XK,YK),(Xj,Yj),零方向,jk方向的误差方程为:,代入、顾及单位统一：,则：,上式称为坐标方位角改正数方程。,则方向误差方程式：,其中：,关于测方向坐标平差的误差方程：,1、误差方程的参数有两大类；2、各参数的系数的特点？3、当端点为已知点时，则其坐标的
5、改正数为零；4、当两个端点同为已知点时，其方向的误差方程仍存在！5、同一边的正反方位角改正数相等！6、定向角的近似值如何求？,例7-7：（P109教材）思考：1、该问题有多少误差方程？构成？2、有几个未知数？3、应组成多少个法方程？4、定向角的近似值如何求？,二、测角网函数模型,j,h,k,Li,jh,jk,(Xh,Yh),(Xk,Yk),(Xj,Yj),角度误差方程不存在定向角参数。,三、测边函数模型,j(Xj,Yj),K(Xk,Yk),Li,即：,用台劳极数展开，得：,其中：,四、导线网函数模型不难看出：它的误差方程是前述角度、边长误差方程的综合！,五、拟合模型,拟合模型是一种特殊的函数模
6、型。前面所述的都是一种确定性的函数模型；而拟合模型却是一种函数逼近型或统计回归模型。,常用的有1、求直线方程；2、地图数字化中，求圆的曲线方程；3、摄影测量中，数字高程模型、GPS水准的高程异常拟合模型等。,Y,X,O,直线方程:Y=aX+b,例:若观测6组数据,试求拟合方程?,圆的参数方程:,X,Y,O,Y0,X0,摄影测量中，数字高程模型、GPS水准的高程异常拟合模型等，常采用多项式拟合模型:,或:,六、坐标转换模型,X,Y,X,Y,O,O,P(XP,YP),作业:(P53-56),7-3 精度评定,一、单位权方差的估值公式,二、协因数阵的计算1、观测值的平差值的协因数阵2、参数协因数阵,
7、间接平差的协因数公式,思考：间接平差中其它基本向量的自（互）协因数阵 又如何？特别地：,三、参数函数的中误差在间接平差中，解算法方程首先求得的是t个参数。有了这些参数，便可以根据它们来计算该平差问题中任一量的平差值。思考：1、在条件平差中，又是如何表达任一量的平差值的？2、在附有参数的条件平差中有如何？,条件平差：,间接平差：,例7-10、欲评定待定点点位精度时，如何列立函数式？,由此可知条件平差精度评定时：1）需先算出 2）相应的函数式以观测值平差值为变量。间接平差精度评定时：1）需先算出 2）相应的函数式以参数为变量。,间接平差参数函数协因数的计算步骤：,1、设参数的函数为：2、权函数式为
8、：式中：3、则其协因数阵为：,例7-11、,（注意：统一单位，以及单位的选取！）,GPS测量的几个术语：1）GPS网-用基线向量构成的网称GPS网。2）GPS测量得到的是GPS基线向量;是属于WGS-84坐标系的三维坐标差。3）WGS84空间坐标系-以地球质心为坐标原点的地固坐标系。4）外业观测后，需进行：GPS基线向量的计算（可用厂家提供的商用软件计算）；GPS网的平差计算。,7-5 间接平差特例-直接平差,例：设对未知量L进行了n次不同精度独立观测，观测值为，权阵为，求该量的平差值以及中误差。,误差方程：法方程：解得：,单位权中误差：参数协因数：参数的中误差：特别地，当：精度评定公式：,对同一未知量进行多次直接观测，求该量的平差值并评定精度，称为直接平差。它是间接平差中具有一个参数的特殊情况。,7-6 间接平差公式绘编1）数学模型：2）误差方程3）法方程：4）参数与观测量的平差值：5）单位权中误差：6）平差参数X的协因数阵：7）平差参数函数的协因数阵：,作业：P57,
