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1、“学生活动”与“反思”的设计,数学教学设计之,张乃达,1.学生活动设计中的若干倾向2.学生活动的认识3.学生活动设计：案例分析 4.反思：数学活动的核心和动力,1.学生活动设计中的若干倾向,弱化（取消、取代、限制）外化（表面化、表演化、游离于学习活动之外）操作化（以操作代替思维，教师的工具）稚化（例子：坐标系）要害：淡化以至取消学生的思维活动。根源：教师价值观念的偏差；对数学及其教学理解的局限；文化环境的影响,案例分析：任意角的三角函数,一、情境创设,启发探讨：为了回答上述问题，需要将点P表示出来。思考：有序数对（r,）可以表示点P，有序数对（x,y）也可以表示点P，那么，x,y 之间有什么关
2、系呢？二、学生活动：知识回顾：初中时，我们是怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？,在此基础上将锐角三角函数拓展到第一象限的三角函数。分组讨论：如何定义各个象限角的三角函数？给出任意角的三角函数的定义。,问题与问题间有什么联系？,为什么不让学生去解决问题呢？不敢放手让学生活动！,还是教师没有理解教材？,案例分析：平均变化率（1）,一、问题情境1。情境：演示实验。利用温度传感器探测水温，数据釆集器在屏幕上绘制温度随时间变化的曲线；问题1：实验中有哪些变化？问题2；观察图象，曲线有哪些特点？问题3：选定两段曲线AB、BC，如何用数量来刻画曲线的陡峭的程度？,实验起了什么作用？,案例分析：平均变
3、化率（2）,三、意义建构师：气温陡增的数学含意是什么呢？图象直观显示是什么？生：B、C之间的曲线较A、B之间的曲线更加“陡峭”师：好！陡峭的程度反映了气温变化的快与慢。那么如何来量化这个陡峭程度呢？联想学过的知识生：反映直线倾斜程度的量：直线的斜率。,教师的担心什么？,案例分析：直线的斜率,一、创设情境师：画出下列函数的图象，分别观察它们的异同。y=x+1,y=2 x+1,y=-x+1生：画图并回答过定点，但方向不同。师：如何确定一条直线？生：两点确定一条直线师：如果只给出一点，要确定一条直线，还应增加什么条件？生：思考。回答：“直线的方向和倾斜程度”,师：通过建立直角坐标系，点可以用坐标来刻
4、画，那么直线的倾斜程度如何来刻画？我们来看与生活相关的实例（放图片）师：该如何刻画它们的倾斜程度？我们以这两座电梯为例。二、学生活动与师生互动师：如何刻画楼梯的倾斜程度？生：利用坡度师：如何计算坡度？接着用类比的方法给出斜率公式，并讨论其合理性（下略）,学生如果不这样回答怎么办？刻画直线的倾倒程度是不是只有这一种方法？,案例分析：解三角形,1。正弦定理的探究发现学生动手测量计算，完成下表同学间交流结果，对计算结果表示看法。学生提出猜想用几何画板就直角三角形，正三角形，一般三角形进行验算,学生成为教师发现的工具！,案例分析：函数的奇偶性,1。问题情境（1）观察图片（蝴蝶、对称的建筑、图案等）；（
5、2）观察下列两組函数图象，从对称的角度你发现了什么？（图象对称）2。学生活动观察函数值表，你看出了什么？,3。意义建构 探究：图象关于Y轴对称的函数满足：对定 义域內的任意一个X都有f(-x)=f(x).反之也成立吗？利用几何画版演示，学生观察演示过程，突出X的任意性，产生建构定义的倾向。4。数学理论 通过讨论，得到定义。（下略）,用操作代替思维，掩盖了思维活动,没有问题，也就没有思维活动,2.对学生活动的认识,教师的价值判断：怎样认识学生活动的价值？怎样认识数学教学的价值？评价课的标准是什么？以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终目标？,2.对学生活动的认识,从本质上说学生活动应该是思维
6、活动，是围绕着问题展开的；从教学的进程来看，学生活动是意义建构的有机组成部分；从教学结构来看，“学生活动”的安排体现了学生在教学中的主体地位；学生活动的目的是为了让学生感受数学、理解数学，帮助学生建构自己的数学；学生活动应该贯穿于课的始终。,怎样评价学生活动？,必须给学生活动提供足够的空间，让学生展开积极的、主动的活动；学生活动应该具有明确的目的；学生活动必须是“数学的”，要符合数学文化的规范；（如：问题思维）学生活动应该有利于思维活动的展开学生活动要体现学生的个性；（多样性）学生活动要照顾到不同发展层次的学生；,3.学生活动设计：案例分析,初中：设计场景,让学生操作设计问题,让学生思考设计方
7、案,让学生合作设计作业,让学生探究高中：设计思维活动，设计促进思维的问题（主问题，问题串，学生在解决问题过程中，建立数学、运用数学）,学生活动的方式活动方式：观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方案，查阅资料、讨论、合作交流、调查；,学生活动、知识建构、探索发现的关系,活动是手段，建构是目的；个体的意义建构就是建立新知识与原有的认知结构的联系的过程，重要的是使数学学习成为有意义的学习；“再发现”与意义建构的关系；外部的操作活动与思维活动的关系；,“动手实践”与“活动的内化”,如果学生始终停留在实际操作层面，而未能在头脑中实现必要的重构或认知结构的重組，那么就根本不能发展起任何真正
8、的数学思维从而，在这个意义上，我们就不仅不应片面地去强调“动手实践”，而应该更强调“活动的内化”。,我们不仅要使每一个学生在数学课上充分地参与活动，还要关注他们在做什么，更要注意分析这些活动对于学生数学思维的发展究竟产生了什么样的影响？,我们要努力理解学生活动与体验的过程和意义，要向他们提供会产生真实数学问题的活动，给他们创造机会反省和再认自己已有的思维方式。孩子们用于解决问题的许多过程是无意识的，如果要发展他们的数学思维，必须要认识到这些无意识的过程，并且帮助孩子们认识这些过程。数学教育展望P30,一些教师认为使用操作活动就代表在从事建构主义教学，因为孩子们按这些材料活动，这被假设为他们自己
9、在建构数学知识。然而积极地参与某种有意义的情境活动，并不能保证孩子会获得他们渴望得到的理解。而且，尽管孩子的理解依赖他们的经验，但这不一定是物理性（自然）的经验。,理解与发现的关系,科学发现活动是把科学发现当成最终的目标的；但是学习活动的最终目标并不是发现，而是理解！用建构主义的语言说，就是要实现意义的建构。因此，对学习活动来说，发现的重要性，仅仅是因为它是达成理解的重要手段！,案例分析：对数函数（1）,1提出问题问题1 指数函数存在反函数吗？特别地，函数y=2X 存在反函数吗？问题2 是不是任何一个函数都存在反函 数？具备什么样的条件的函数才具有反函数？问题3 如何通过函数的图象来判断一个函
10、数是否具有反函数？回到问题1：指数函数具有反函数吗？,2.解决问题（意义建构）问题2 既然指数函数的反函数是存在的，你能说出它的性质吗？（根据指数函数的性质逐一列出其反函数的性质。如：定义域、值域、单调性、恒过点（1，0）等等）,问题3 指数函数的反函数是一个什么样的函数？你能把它表示出来吗？特别地，你能表示出函数y=2x的反函数吗？问题4 表示函数的方法有哪几种？问题5 怎样用图象法表示指数函数的反函数？问题6（反思）上述图象是否表示了函数的“三要素”？问题7 能用列表法表示这个函数吗？问题8 能用解析式表示这个函数吗？,问题9 怎样用解析法表示指数函数的反函数？（设f（x）=2X，其反函数
11、可以抽象地表示为y=f-1（x）。但具体的表示尚有困难。）问题10 解方程：2x=n（n0）。（1）当n=4，1/4时，解出X；（2）讨论n=3的情况。可以肯定，方程的解是存在的、确定的。利用图象可以表示出方程的解，也可以求出它的近似值。,3研究成果（数学理论）给出对数符号和对数函数的定义，进而用新引进的“专用术语”重新表述指数函数反函数的性质。,注意：问题串的设置方法,1。问题情境观察下列两組函数图象，从对称的角度你发现了什么？（图象对称）函数 y=X4+1 的图象关于y轴对称吗？为什么？图象的对称性在函数解析式上有什么体现？2。意义建构什么叫做“图象与Y轴对称”？,案例分析：函数的奇偶性（
12、2）,怎样用分析的语言来表示“如果点P在图象上，那么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？怎样表示点P（X，Y）关于Y轴的对称点？（-X，Y）怎样表示“点P（X，Y）在图象上”？怎样表示“点P（X，Y）关于Y轴的对称点在图象上”？怎样用分析的语言来表示“如果点P在图象上，那么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？,猜想：如果函数 y=f(x)的图象关于Y轴对称，则对于定义域内的任何x,总有f(x)=f(-x)，反之亦真。列表，电脑演示，验证猜想。（下略）,从普通几何语言到精确的分析语言的转换,案例分析:二分法,用二分法求方程的近似11.ppt情境的作用：思维过程的类比你能猜出方程的根吗？不能直接猜出根
13、，你能猜出它的范围吗？怎么能保证根在这个范围内？（观察图象）（应该说是保证在这个范围内有根）能把这个范围缩小吗？再缩小呢？怎样保证在很小很小的范围内有根呢？我们需要找到一个验证的方法。,问题情境要引起学生的思维活动，而不能掩盖思维过程教师要准确地把握重点，认识数学方法的实质,案例分析：对数的运算性质,电脑演示观察：从下面的数据中你发现了什么?log a M+log a N 和log a(MN)有什么关系？证明,案例分析：对数的运算性质,问题：对数运算有什么性质？对数运算和指数运算有什么样的关 系？指数运算有什么性质？相应地，对数运算应该有什么性质？比如；log a M+log a N=?,猜想
14、：log a M+log a N=log a（MN）说说提出猜想的根据 验证猜想 如何验证猜想？特殊值检验 电脑演示 证明猜想,观察与问题,现代科学哲学认为，科学探索不始于观察，也不始于理论，而始于问题始于由观察与理论相互作用而形成的问题和矛盾。一般地说，问题的产生虽然与观察事实有关，但是真正重要的是要由观察引出问题，如果只是单纯地记录了某种现象，而没有从中引出科学问题，那么观察的结果也会如随风烟云，不会把人们引向真正的科学研究。,只有从新现象的观察中进一步提出问题，并且带着问题进行观察，才能真正进入科学研究工作。随着科学水平的提高，科学研究的难度增大，从理论中发现问题并由此推进科学研究的情况
15、愈来愈多。,因此，科学探索的逻辑起点是问题，探索的过程就是：提出问题解决问题提出新问题的过程。刘大椿科学哲学通论这种观点和思维心理学中的有关观点也是一致的。心理学认为思维是寻找和发现从本质上说属于新东西的过程，因此思维总是由问题开始的。,归纳演绎模式,假设演绎模式,PHOcHc从问题(P)开始，通过猜测所谓智力突变()，导出一个假说(H)，由此推演出()必然的可观察的检验陈述(Oc)，然后，如果这些陈述被证明是正确的，就归纳出()被确证的结论(Hc)。,5.反思：数学活动的核心和动力,“反思是数学化过程中一种重要的活动，它是数学活动的核心和动力。”“只有这样的数学教育以反思为核心才能使学生真正
16、深入到数学化过程之中，也才能抓住数学思维的内在实质”。（弗朗登塔尔）,4.反思：数学活动的核心和动力,“反思是数学化过程中一种重要的活动，它是数学活动的核心和动力。”“只有这样的数学教育以反思为核心才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能抓住数学思维的内在实质”。（弗朗登塔尔）,著名数学教育心理学家斯普根在谈到直觉思维与反省思维时说：“直觉思维当然很重要”，“但是在数学活动中，更重要，更高级，更多的是反省思维。”,今天，如果有人来问我，数学教育中最重要的是什么？我就会毫不犹豫地回答：是促使学生反思！数学教育从思维到文化,发现性教学中的反思,发现活动开始前：用反思提出问题发现的进程中：通过反思
17、对思维活动监控发现后：通过反思增进对发现的理解结论：反思应该贯穿于发现的全过程。,发现后的反思,第一、需要对发现本身进行思考。如：“发现”说明了什么问题？新的发现和已有的结论之间有什么样的联系？是什么因素把它们联结起来的？等等；第二、还要对发现过程进行思考。如：是什么方法导致你的发现的？如果是借助于直觉，那么直觉是怎产生的呢？等等。,接受性学习中的反思,再现知识发现的过程对书本的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候，不仅应该记住它的结论，懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，经过多少曲折，攻破多少关键，才得出这个结论的”“如果书本上还没有作出结论，我应该怎样去得出这个结论?”我
18、们只有了解结论是怎样得来的，才能真正弄懂结论.（华罗庚）,案例分析：向量的加法,1。提出问题。游船从景点O到景点A的位移OA，从景点A到景点B的位移AB，那么经过这两次位移后，游船的合位移是OB，这里的向量、之间有什么关系呢？2。给出向量加法运算的定义和向量加法的三角形法则。3证明向量的平行四边形法则；4向量加法的性质。5。应用：用向量的加法运算法则求合力。,下课后，我和一位高一学生作了如下的对话：问：你会求两个力的合力吗？（本文中提到的力都是指“共点力”，下面不再声明）生：可以用平行四边形法则来求。问：为什么可以平行四边形法则来求合力呢？这样做的根据是什么？生：平行四边形法则是由三角形法则推
19、导出来的。问：三角形法则？生：三角形法则就是向量的加法法则。,问：三角形法则又是从何而来的呢？生：这是向量加法的定义！问：为什么用这个定义就可以求出合力呢？生：因为合力是分力的和，求和就要做加法。问：为什么不能用数的加法来求合力而要用向量的加法来求合力呢？生：因为力是向量，合力就是向量的和，求向量的和当然要用向量的加法法则来做了！,这是一位数学成绩很好的学生，从上面的回答中也可以看出，他还是很自信的。问：诚如你所说：数学中求向量的和的法则是人为的规定的，而自然界中两个力的合力也是确定的，它是一种客观存在，不会随我们的意志而转移。既然如此，你怎么能保证自然界的力就一定会遵循数学中的“规定”呢？怎
20、么保证根据数学中的法则所得到的结果就一定符合事实呢？,在我一连串的追问下，学生“卡壳”了，于是他反问我那么照你说，我们为什么能用平行四边形法则求合力呢？其实，在学习向量以前，学生对这个问题是具有相当清晰的认识的：他们不仅知道力的合成遵循平行四边形法则，而且知道平行四边形法则是由实验证实的在物理课中学生亲自做过这个分组实验因此，在物理学中平行四边形法则的正确性是直接来源于客观存在的事实，平行四边形法则不过是对自然界客观存在的规律的一个表述而已！,可是经过数学的学习，清晰简明的认识反而变得复杂了，在学生看来，好像是数学中的规定保证了平行四边形法则（物理定律）的正确性，而数学中规定又是由数学家主观约
21、定的，这样一来，数学成了真理的源头！好像自然界的一切都是遵循着数学在运行，发展和变化！数学成为自然的主宰！成为先验的真理！,这样的认识当然是片面的错误的。特别是如果没有人指出其中的错误，这种错误的观念将会伴随他的一身，并以此来认识数学，以至认识世界！,案例分析；向量的加法,向量OA、AB、OB之间有什么关系？为什么向量OB是向量OA、AB的和？OB的长度是OA、AB长度的和吗？你为什么说向量OB是向量OA、AB的和呢？什么叫做向量的和？向量怎样做加法？你是从“累计”的意义上以位移为原型定义“和”的概念的。但是这样的定义是不是适用于其它的向量（既具有大小又具有方向的量）呢？（仿此对力进行研究）,
22、从物理原型抽象为形式化的一般模式,通过反思展现数学概念的抽象过程,解三角形中的初始问题,结构性的切入点三角形全等的知识直角三角形中的边角关系三角形的向量表示应用性的切入点测量计算（解三角形）,案例分析：解三角形（金陵中学）,一、问题情境问题1 如何测量被河隔开的A、B两点间的距离？通过讨论，将上面的问题化归为问题2 在ABC中，已知A=75，C=60，AC=100，求 AB。解决问题2,二、学生活动 从解决问题2时出现的等式“AC sin C=AB sin B”出发，提出正弦定理的猜想。三、建构数学通过作高的方法，分类证明猜想；给出定理。四、数学运用（例略）五、回顾小结运用正弦定理可以解决哪几
23、类问题？,案例分析：解三角形,一、提出问题1。从三角形全等的判定定理可以知道，三角形的基本元素之间存在着一定的数量关系；2。特别地，三角形内角和定理就揭示了三角形的三个内角间的数量关系；勾股定理揭示了直角三角形三边间的数量关系；想一想，我们还学过那些关于三角形边角关系的定理？问题1 三角形基本元素间还存在着什么样的数量关系呢？；,三角形中基本元素,A、B、C、a、b、c,研究目标,基本元素之间的数量关系,研究思路,向量关系转化为数量关系,二、探究研究的基本思路,问题2 怎样把“向量”关系，转换为数量关系？利用向量的数量积。具体的有,（1）向量式两边平方,（2）向量式两边同乘向量AB,（3）向量
24、式两边同乘与向量AB垂直的向量,三、数学理论,问题4 看到上述结论你能联想到什么？（是直角三角形中边角关系的推广）问题4 根据上述联想，你能发现证明上述结论的新方法吗？（将一般三角形化归为直角三角形）反思回顾问题3 从定理的推导过程中你受到了什么样的启发？对向量方法有什么认识？向量关系转换为数量关系的途径有哪些？怎么想到将向量式的两边同乘向量AB的？怎么想到将向量式的两边同乘向量AD的？在以前的学习中用过类似的方法吗？,案例分析：点到直线距离公式,一、提出问题1。怎样求平行四边形的面积？2。怎样求点到直线的距离？具体地，有（1）若直线 l 经过点R(2,1)和 S(-1,5),求点P(2,5)
25、到直线 l 的距离 二、解决问题求出2中的距离得到求点到直线距离的一般思路反思：对一般思路作出评价,三、提出新问题问题3：能更简捷地求出点到直线的距离吗？反思：对原解题思路进行分析，（交点的表达式过于复杂）提出解决问题的新方案（不解交点），直接求距离（概略性解决）如何直接求出距离呢？把方程组变形为x x0,y y0 的方程（功能性解决）问题4（反思）能进一步改进吗？,四、提出新思路问题5（反思）通过求点到直线的距离，可以求出面积，那么能不能通过面积求出距离呢？（学生讨论，以（1）为例，解决问题，略）五、用面积推导公式六、反思,从问题到问题（三角变换引言）,培训光盘.doc,结论,学生活动必须围绕着问题展开；学生活动应该贯穿于教学的全过程；学习活动的设计应该是以问题为中心的教学设计的有机的组成部分；促使学生自觉的反思是数学教学成功保证。,谢谢！2008.9.17,
