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1、第三章 热平衡态半导体中载流子的统计分布,电子科技大学微固学院2023年8月,计算本征半导体(intrinsic semiconductor)和杂质半导体(extrinsic semiconductor)的热平衡状态时载流子浓度及费米能级位置，讨论载流子浓度、费米能级与杂质浓度、温度的关系,导带,价带,T,载流子分布载流子影响因素,主要内容,3.1 热平衡状态3.2 状态密度3.3 热平衡态时电子在量子态上的分布几率3.4 热平衡时非简并半导体的载流子浓度3.5 本征半导体的费米能级和载流子浓度3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度3.7 简并半导体(degenerate semiconduct
2、or),3.1 热平衡状态,在一定的温度T下，存在：,载流子产生过程本征激发杂质激发,载流子复合过程电子从导带回到价带或杂质能级上,一、热平衡状态,载流子数目决定于：,允许电子存在的量子态按能量如何分布的？状态密度g(E)=dZ/dE,电子是按什么规律分布在这些允许电子存在的量子态中？f(E),二、热平衡时载流子的浓度,导带,价带,导带中单位能量间隔含有的状态数为gc(E)导带的状态密度,假设：,能量为E的每个状态被电子占有的几率为f(E),在能量dE内的状态具有的电子数为：f(E)gc(E)dE,那么：,整个导带的电子数N为：,式中Ec为导带顶的能量,若晶体的体积为V，那么电子的浓度为：,空
3、穴占据能量为E能级的几率为：1f(E),空穴的浓度p为：,式中Ev为价带底的能量,gv(E)为价带中单位能量间隔含有的状态数价带的状态密度,3.2 状态密度,状态密度(density of state,DOS)状态密度是能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数目能带中能量E+dE之间有dZ个量子态，则状态密度为：,状态密度的计算k空间的状态密度单位k空间体积内的量子态数单位能量间隔dE对应的k空间体积单位能量间隔dE对应的量子态数dZ，计算状态密度g(E),量子态在波矢空间的分布,能量E 量子态Z的关系,能量E 波矢k的关系,x,x+L,一、理想晶体的k空间的量子态分布,1.一维晶体,设它由N
4、个原子组成，晶格常数为a，晶体的长为L，起点在x处,a,L=aN,在x和x+L处，电子的波函数分别为(x)和(x+L),(x)=(x+L),单位 k 空间允许的状态数为：,单位k空间体积内所含的允许状态数等于L/2（L晶体的线度）,-4/L-2/L 0 2/L 4/L,k,k,k,k,k,2.三维晶体,设晶体的边长为L，L=Na，体积为V=L3,K空间中的状态分布,kx,小立方的体积为：,一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积,单位 k 空间允许的状态数为：,k 空间的量子态（状态）密度,考虑自旋后，k空间的电子态密度为：,二、半导体导带底和价带顶的状态密度,1.极值点 k0=0，E(k)为
5、球形等能面,(1)导带底,球所占的k空间的体积为：,球形等能面的半径k,球内所包含的量子态数 Z(E)：,Z(E)=,微分：,代入：,将,导带底附近单位能量间隔的量子态数状态密度为：,(2)价带顶,价带顶附近单位能量间隔的量子态数状态密度为：,2.实际半导体,导带底附近的状态密度为：,式中S为导带极小值的个数Si：S=6，Ge：S=4,(1)导带底(极值点k00),令：,称mdn导带底电子的状态密度有效质量,(2)价带顶(极值点k00),令：,称mdp为价带顶空穴的状态密度有效质量,状态密度与能量E的抛物线关系,导带底附近，电子能量越高，状态密度越大；价带顶附近，空穴能量越高，状态密度越大,例
6、 计算室温Si导带底到上面k0T范围内的状态数的体密度。,3.3 热平衡态时电子在量子态上的分布几率,一、费米分布函数和费米能级,1.费米分布函数,电子占据能量E能级的几率,式中 EF 具有能量量纲，称为费米能级,费米分布函数,费米能级定义为：,1938年诺贝尔物理学奖,1933年诺贝尔物理学奖,Fermi,Dirac,热平衡系统有统一的费米能级,2.f(E)的特点,f(E)与温度T有关,T=0K,EEF：f(E)=0EEF：f(E)=1,半导体EF 位于禁带中,T=0K,1/2,T2T1,f(E),T1,T2,EF,E,1,0,费米能级标志电子占据量子态的水平,T0K,EEF：f(E)1/2
7、EEF：f(E)1/2E=EF：f(E)=1/2,T高EEF：f(E)EEF：f(E),EF 高 EEF：f(E)EEF：f(E),费米能级越高，说明较多能量较高的量子态被电子占据,温度升高，说明较多的电子会被激发到费米能级以上的量子态,f(E)随能量增大迅速下降，说明越高能量量子态被电子占据几率小,二、玻尔兹曼分布,1.电子的玻尔兹曼分布,当EEF k0T 时，,玻尔兹曼分布函数,Boltzmann,例如：EEF=5k0T 时，,1/2,f(E),EF,E,1,0,fBE(E),fFD(E),价带,导带,EC,EV,Eg,半导体中电子的统计分布,满足 Ec EF k0T,本征Si:,(EF)
8、本征Ei(禁带中心能级),禁带宽度Eg=1.12 eV,EcEF=EcEi=0.56 eV,在室温时，k0T=0.026 eV 0.56/0.026=21.6,即没有被电子占有的几率：,2.空穴的分布函数,空穴的费米分布,当 EFE k0T 时，,空穴的玻尔兹曼分布,1/2,f(E),EF,E,1,0,1-fB(E),1-fF(E),价带,导带,EC,EV,Eg,半导体中空穴的统计分布,满足 EF EV k0T,非简并半导体电子服从玻尔兹曼统计率，载流子非简并，满足 E EF k0T(导带)或 EF E k0T(价带)简并半导体 电子服从费米统计率，载流子简并,3.非简并半导体与简并半导体,3
9、.4 热平衡时非简并半导体的载流子浓度n0和p0,一、导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0,1.电子浓度n0,在能量EE+dE间隔内的电子数dN为：,dN=fB(E)gc(E)dE,Ec,Ec,E,E+dE,整个导带的电子数N为：,引入：,其中,电子浓度no：,利用积分公式：,令：,导带有效状态密度,可理解为：把导带中所有量子态都集中于导带底，其状态密度为 Nc，电子浓度则是有电子占据的量子态,电子按Boltzman占据导带底Ec 的几率,2.空穴浓度p0,价带中的空穴浓度为：,其中,价带的有效状态密度,g(E),EF,EC,EV,g(E)f(E),1,0.5,0,0,0,f(E),n0,f(E
10、),gc(E),gv(E),1-f(E),p0,E,Nc,Nv,载流子的统计分布,二、影响no 和po 的因素,室温时：,1.mdn和mdp的影响材料的影响,2.温度的影响,(1)Nc、Nv T,T，NC、NV,(2)占据EC、EV的几率与T 有关,T，几率,T，n0、p0,3.EF的影响,EFEC，EC-EF，no EF越高，电子的填充水平越高，对应n0较高；,EFEV，EF-EV，po EF越低，电子的填充水平越低，对应p0较高。,EF与杂质有关，决定于掺杂的类型和数量。,EF,EA,不同掺杂情况下的费米能级,（a）强p型（b）弱p型（c）本征情况（d）弱n型（e）强n型,Ev,Ei,Ec
11、,EF,EA,Ev,Ei,Ec,Ev,EF,Ec,Ev,Ei,Ec,ED,EF,Ev,Ei,Ec,ED,EF,三、载流子浓度积,对于一定的半导体材料，热平衡态时载流子浓度积仅与温度有关，而与是否掺杂及掺杂浓度无关 热平衡状态判据,非简并半导体的载流子浓度no和po,电中性条件,3.5 本征半导体的费米能级和载流子浓度,本征半导体,本征载流子浓度,EF?,电中性条件,一、本征载流子浓度及影响因素,1.本征载流子浓度ni,、,300 K,2.影响ni的因素,(1)mdn、mdp、Eg 材料,(2)T 的影响,T，lnT，1/T，ni,高温时，在ln ni 1/T 坐标下，近似为一直线。,1/T,l
12、nni,Ge,Si,GaAs,3.浓度积nopo与本征载流子浓度ni,热平衡判据,举例,(1)在常温下，已知施主浓度ND，并且全部电离，求导带电子浓度no和价带空穴浓度po,施主全部电离,no=ND,po=ni2/no=ni2/ND,（2）在常温下，已知受主浓度NA，并且全部电离，求导带电子浓度no和价带空穴浓度po,受主全部电离,po=NA,n0=ni2/po=ni2/NA,二、本征半导体的费米能级,Ei 为禁带的中心能级，将NC、NV代入：,Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo,室温时，kT=0.026 eV,EFEi=-0.008 eV,(Eg)Ge=0.67ev EFEi,
13、对Si、GaAs一样，EFEi,对某些窄禁带半导体不然，如InSb，Eg=0.17eV，mdp/mdn 32，EF=Ei+0.068 eV Ei,对于多数本征半导体，可以认为本征费米能级位于禁带中心，而且不随温度变化,Ei 又叫本征费米能级,EF=Ei 时：,故,同样,非简并半导体：,非简并半导体另一组有用的公式,本征半导体载流子浓度随温度变化很大，浓度及导电性不能控制,在室温附近，Si：T8K，ni一倍,Ge：T12K，ni一倍,本征半导体在应用上限制,纯度达不到,要使得本征激发是载流子的主要来源,杂质原子/总原子 本征载流子/总原子,Si：原子密度1023/cm3，室温时，ni=1010/
14、cm3,本征载流子/总原子=1010/1023=10-13杂质原子/总原子,Si的纯度必须高于99.9999999999999%,本征半导体：,+,杂质半导体：,n0p0EF,电中性条件？,3.6 非简并杂质半导体的载流子浓度,杂质半导体带电粒子有：,电子、空穴、电离的施主nD+和电离的受主pA-,电中性条件：,no+pA-=po+nD+,导带,价带,pA-,p0,n0,nD+,电子占据ED的几率,空穴占据EA的几率,一、杂质能级上的电子和空穴浓度,若施主浓度为ND 施主能级上的电子浓度nD为：,未电离的施主浓度,电离的施主浓度nD+为：,EDEFkT,nD0，nD+ND，施主杂质几乎全部电离
15、,EF=ED gD=2,EFEDkT,nDND，nD+0，施主杂质几乎没有电离,施主杂质只有1/3电离,没有电离的受主浓度pA为：,电离的受主浓度pA-为：,若受主浓度为NA,gA,EFEAkT,EAEFkT,pA0，pA-NA，受主杂质几乎全部电离,EF=EA gA=4,pANA，pA-0，受主杂质几乎没有电离,受主杂质只有1/5电离,电中性条件：,no+pA-=po+nD+,分析不同温度范围，确定费米能级EF,导带,价带,pA-,p0,n0,nD+,二、杂质半导体载流子浓度和费米能级,T,杂质离化区,本征激发区,过渡区,低温弱电离区,中间电离区,强电离区,载流子由杂质电离提供,杂质部分电离
16、,杂质全部电离,载流子由杂质电离和本征激发提供,载流子主要由本征激发提供,1.低温弱电离区,温度很低，kTEDEg，本征激发忽略,本征激发很小，po=0 可忽略电中性条件,no=nD+,以只含有ND一种施主杂质为例,A.n 型半导体载流子浓度和费米能级,no+pA-=po+nD+,可简化为：,将 n0、nD+代入，得：,温度很低时，nD+ND,取对数并化简得：,EF T 的关系,T 0K时,EF(EC+ED)/2,T，NC，dEF/dT,dEF/dT+,T0K时,3/2，dEF/dT0，EF；,当,当T，达到 dEF/dT=0：,EF达到最大值,当TTmax后，,代入,将,得到,n0 T 的关
17、系,对no的表达式取对数：,lnno 常数 ED/(2kT),随温度升高，n0 指数上升,1/T,lnni,-Eg/(2k),-ED/(2k),中间电离区,温度继续升高，当2NCND后，EF下降到(EC+ED)/2以下,T 某一温度时：,2.强电离区（饱和电离区）,杂质全部电离，本征激发仍很小,电中性条件为：,解得费米能级EF,代入n0：,一般，NCND,EFEC,ni ND,EFEi,T，NC、ni，EF,ND，EF,又,解得费米能级EF,3.过渡区,电中性条件：,杂质全部电离，本征激发不能忽略,消去 p0，得,联立,解得,当NDni时，,当NDni时，,靠近本征区一边,靠近饱和区一边,代入
18、,将,所以,4.本征激发区,杂质全电离,本征载流子浓度大,电中性条件,费米能级随温度的变化,N型半导体费米能级、电子浓度随温度的变化情况,载流子浓度随温度的变化,同时应注意费米能级、电离情况的对应关系,N型半导体费米能级随杂质浓度的变化情况(室温),ni,NC,EC,Ei,EF,ND,N型半导体电子浓度随杂质浓度的变化情况,ni,NC,NC,ni,n0,ND,B.P型半导体的载流子浓度和费米能级,(1)低温弱电离区,4,(4)本征激发区,T，EF,(3)过渡区,po=NA，no=ni2/NA,(2)饱和电离区,例 室温下，在元素半导体Si中掺入1016/cm3 P后，半导体为哪种极性半导体？P
19、元素是施主还是受主？此时半导体的多数载流子和少数载流子分别是什么？热平衡状态时浓度分别是多少？(室温下，Si的ni=1.01010/cm3)。,半导体为N型半导体；P元素是施主；多子是电子，空穴是少子；室温下，全部电离 ND=1016/cm3 ni=1.01010/cm3半导体处于杂质饱和电离区,N型半导体载流子浓度随温度的变化情况,三、工作温区强电离区(饱和区),工作温区的上限,工作温区的下限,ni 0.1 ND,nD+0.9 ND,(1)工作温区的上限 杂质激发载流子远高于本征激发载流子 条件：ND10 ni 决定掺杂浓度的下限（ND)min,根据Tmax，由lnni 1/T曲线查出 Tm
20、ax对应的ni；,根据ni的公式计算出Tmax所对应的ni；,例：T=500K时，Si ni=51014/cm3,最小掺杂浓度：(ND)min=51015/cm3,全电离时，必定 EDEF,工作温区的下限 ND全电离条件：nD+/ND=90%或 D-=nD/ND10%决定掺杂浓度的上限(ND)max，,要满足全电离条件，(D-)max=0.1,代入，得到,将强电离区,即：,掺杂上限:室温时：NC=2.81019/cm3，ED=0.044ev,(ND)max=31017/cm3,(ND)min=10ni(500K),掺杂下限:查表得：T=500K时，ni=51014/cm3,(ND)min=51
21、015/cm3,例：计算工作温度在室温到500K的掺P的Si半导体的掺杂施主浓度范围。,Tmin=300K，Tmax=500K,思考：1.Si在室温下正常工作的掺杂施主浓度范围？2.Si掺入P的浓度为1013/cm3，求其工作温区？,例 1）计算下面两种材料中在室温下的载流子浓度：（1）掺入密度为1014/cm3 B的锗材料；（2）掺入密度为1014/cm3 B的硅材料。2）制作一种p-n结需要一种P型材料，工作温度是室温（300K）,试判断上面两种材料中哪一种适用，并说明理由。（在室温下，硅：ni=1.51010/cm3 锗：ni=2.41013/cm3）,解：,1）掺入锗：,ni/NA=2
22、4%，故该P型材料处于过渡区,掺入硅：,niNA，故该P型材料处于饱和电离区,2）半导体器件的稳定工作区应位于其饱和电离区，以保证其载流子浓度稳定，因此应选用掺杂的Si材料,例 硅半导体材料不同区域进行了n型和p型掺杂，试分析室温热平衡状态时的能级结构，p区和n区有无电势差存在，如何计算？,ND,NA,P区：,N区：,电势差V：,3.7 简并半导体,N型半导体,P型半导体,载流子的简并化,一、简并半导体的载流子浓度,Fermi 分布,1.EF接近或进入导带中,令：,则：,其中：,费米积分,（J为整数和半整数）,2.EF接近或进入价带中,01,-4,-2,0,2,4,6,8,0.2,05,1,2
23、,5,10,20,费米,经典,n0/Nc,二、简并条件,非简并：,简并：,0.13,EFEC2kT，非简并,2kTEFEC0，弱简并,EFEC0，简并,N型半导体的简并条件：EFEC0P型半导体的简并条件：EvEF0,简并条件,杂质浓度为多少时开始发生简并？,no=nD+(弱电离),简并时，EF=EC，EDEF，,三、简并时的杂质浓度,得到,EF=EC，=0，F1/2(0)0.6,发生简并时，ND NC 至少处于同一数量级；,P型简并半导体，NA NV,简并半导体为重掺杂半导体,ND2.04NC,四、简并半导体中的杂质能带,简并：,ED0，EgEg,杂质能级杂质能带,禁带变窄效应,导带,Eg,
24、施主能级,价带,施主能带,本征导带,简并导带,能带边沿尾部,Eg,Eg,价带,主要任务：计算本征半导体和杂质半导体的热平衡载流子浓度及费米能级的位置，讨论载流子浓度、费米能级与杂质浓度、温度的关系,导带,价带,T,主要内容小结,载流子统计分布：电子占据量子态的几率：,费米分布函数 简并半导体,玻尔兹曼函数 非简并半导体,能量状态密度：,导带：gC(E)E 1/2,价带：gV(E)-E 1/2,g(E),EF,EC,EV,g(E)f(E),1,0.5,0,0,0,f(E),n0,f(E),gc(E),gv(E),1-f(E),p0,E,Nc,Nv,载流子浓度：,导带电子浓度,价带空穴浓度,非简并
25、半导体：,浓度积,热平衡判据,本征半导体：,通常直接实验测定,低温弱电离区,N 型：,饱和电离区,杂质半导体：,过渡区,本征区,P 型杂质半导体载流子浓度n0、p0、EF？,掌握1、载流子浓度、费米能级随温度变化规律；2、载流子浓度、费米能级随杂质浓度变化规律。,饱和电离区的确定及载流子浓度计算,简并半导体,载流子浓度,简并条件：,或,简并时的杂质浓度和杂质能级,重掺杂,杂质能带,第三章思考题与自测题：半导体处于怎样的状态才能叫处于热平衡状态？其物理意义如何。什么叫统计分布函数？费米分布和玻耳兹曼分布的函数形式有何区别？在怎样的条件下前者可以过渡到后者？为什么半导体中载流子分布可以用玻耳兹曼分
26、布描述？说明费米能级的物理意义。根据费米能级位置如何计算半导体中电子和空穴浓度？如何理解费米能级是掺杂类型和掺杂程度的标志？在半导体计算中，经常应用 这个条件把电子从费米能级统计过渡到玻耳兹曼统计，试说明这种过渡的物理意义。写出半导体的电中性方程。此方程在半导体中有何重要意义？若n型硅中掺入受主杂质，费米能级升高还是降低？若温度升高当本征激发起作用时，费米能级在什么位置？为什么？如何理解分布函数与状态密度的乘积再对能量积分即可求得电子浓度？为什么硅半导体器件比锗器件的工作温度高？当温度一定时，杂质半导体的费米能级主要由什么因素决定？试把强N、弱N型半导体与强P、弱P半导体的费米能级与本征半导体的费米能级比较。如果向半导体中重掺施主杂质，就你所知会出现一些什么效应？,作业,P104 习题 10、13、14、15、16,理论篇：主要阐述电子材料与器件涉及的基础理论，内容包括材料科学基础概论、固体中的电导和热导、量子物理基础和现代固体理论；应用篇：主要讨论各种功能材料与器件的原理与性能，内容包括半导体、半导体器件、电介质材料与绝缘、磁性与超导性、材料的光学特性等专题。S.O.Kasap是加拿大萨斯喀彻温大学电气工程系教授以及加拿大电子材料与器件首席科学家。是电子材料领域著名的专家，对电气工程中的材料问题有独到的见解和非常精彩的阐述。,
