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1、第三章刚体力学基础,第一节 刚体运动的描述,一.刚体,内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。,刚体是实际物体的一种理想的模型,用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐 标的个数。,自由刚体的自由度数 n=6非自由刚体的自由度数小于6,物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目有n个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被约束,其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。,二、刚体的自由度,三、刚体运动的几种形式,1.平动（平移）（n=3）,运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。,刚体的任意运动都可视为某一点的平
2、动和绕通过该点的轴线的转动,特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。,研究方法：用质心代表整个刚体的运动。可视为质点。,2.定轴转动（n=1）,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。,特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律,将刚体的运动看作质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。,3.平面平行运动（n=3）,刚体运动时,各点始终和某一平面保持一定的距离,或者说刚体中各点都平行于
3、某一平面而运动,四、刚体定轴转动的描述,角位置：,1.定轴转动的角量描述,角位移：,角速度：,角加速度：,角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中方向沿转轴的方向。角速度方向并满足右手螺旋定则。,2.角量和线量的关系,在刚体作匀角加速转动时，=常数，有以下相应的公式:,在质点作匀加速直线运动时，a=常数，有以下相应的公式:,3、匀变速转动的公式,刚体获得角加速度的原因？,第二节 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律,一、力对转轴的力矩,方向如图,方向如图,1、力在转动平面内,2、力不在转动平面内,穿过转轴Z的力和平行转轴Z的力对转轴Z的力矩为0。,再看一个模型力矩,当有n个外力作用有定轴转动的刚体上时
4、，其总力矩的量值应等于这n个外力对转轴产生分力矩的代数和。,？为什么,二.定轴转动定律 转动惯量,质点系角动量定理:质点系所受外力矩之和等于系统总角动量的变化率(P85),对于定轴z轴转动刚体,上式同样成立,且M只沿z轴方向,故有:,如图所示，考虑以角速度 绕z轴转动的一个刚体，其上任一质元 相对于原点0的角动量为,Li在z轴上的分量为：,因此，定轴转动刚体的总角动量 对转动轴 z 轴的分量的大小为：,对定轴刚体，J为常量，,J：称为刚体对于转轴的转动惯量,三.转动惯量,连续体：,1.转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。,2.转动惯量的计算,转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及质量相对
5、于给定轴的分布有关。,注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。,在（SI）中，J 的单位：kgm2,四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算,1、对于转动惯量：,例6-3 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；,解：,注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。,2、对于转动定律的应用,解题要点,例6-1、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,
6、解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。当棒处在下摆角时，重力矩为：,例6-4 质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀薄圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量。,解：,对圆环：,对圆盘：,解：分析受力：图示,质点A,质点B,例6-2、如图，斜面倾角为，质量均为m的两物体A、B，经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动（视为圆盘）半径为R、质量为m。求物体运动中定滑轮两侧绳中的张力及B下落的加速度a（不计摩擦）,滑轮（刚体）,联系量,联立求解可得T1、T2、aA、aB、,为什么此时T1 T2？,3、平行轴定理与垂直轴定理,平行轴定理：,例：,垂直轴定理,例：,几种常见刚体的转动惯量,回
7、顾：质点对O点的角动量,五 刚体定轴转动的角动量与角动量定理,1.刚体对定轴的角动量,2.刚体定轴转动的角动量定理,角动量守恒定律,由转动定律,2.刚体定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒现象举例,第三节 刚体的能量,刚体的内力不做功,力矩的功,一、刚体定轴转动的动能与动能定理,1刚体的转动动能,2.刚体定轴转动的动能定理,二、刚体的重力势能,刚体定轴转动械能守恒定律,推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即,解(1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：,解得,例题 匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固
8、定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3,求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。,由此得：,(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：,由前,转动动能,平动动能,例6-8 A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,A轮的转动惯量J12,开始时B轮静止,A轮以n1=600r.min-1的转速转动,然后使A与B连接,因而B轮的到加速而A轮减速,直到两轮的转速都等于n=200r.min-1为止.求(1)B轮的转动惯量;(2)在啮合过程中损失的机械能.,解:,(1)取两飞轮为系统,因轴向力不产生转动力矩；据系统的角动量守恒,有,则B轮的转动惯量,(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.,质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一),质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二),
