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1、第 5 章 刚 体 力 学 基 础,刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变。,第 一 节 刚 体 运 动 的 描 述,一、刚体运动基本形式和自由度,自由度：完全描述运动所需的独立坐标数,（决定物体空间位置）,1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变,2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。,自由度,x,p,（1）定轴转动：转轴固定于参考系,j,如：门 窗,（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系,如：玩具陀螺,（转轴方向2，绕轴转角1）,o,3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都
2、平行于某一固定平面,可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（1）,如：车轮滚动,4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动,二、定轴转动的描述 角量,x,p,j,转动平面,Q,线量与角量之关系：,对于匀角加度速转动，则有：,式中,是 t=0 时刻的角速度和角位置,角速度矢量,大小为,方向由右螺旋法则确定,规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向,在定轴转动下,第 二 节 定 轴 转 动 定 理,刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力学方程,取惯性坐标系,一、作用于定轴刚体的合外力矩,x,y,z,相对于定轴的合外力矩,即作用在各质元的力矩的z
3、分量之和,二、刚体定轴转动定理,x,y,z,o,式中,称为刚体对转轴 z 的转动惯量,代入,得到,刚体定轴转动定理,推广到 J 可变情形,称为在t0到t时间内作用在刚体上的角冲量,例5-1 定滑轮:,物体:,轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。,求滑轮转动的角加速度和绳的张力。,r,解：,解得:,结论:,1.由于考虑了滑轮的质量,使得,2.,解：,如图示，除力F外，系统还受重力、轴的支反力等。,但这两个力对轴的力矩0。,只有F对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为：,可通过转动定理求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。,细杆遵从如下动力学方程：,质心运动定律分量式：,讨论,打击中
4、心,第 三 节 刚体的转动惯量,一、刚体的转动惯量及其计算,定义：,1 刚体为分裂的不连续结构,2 刚体为连续体,单位：,J与质量，质量分布有关，与转轴有关,例：均质棒:m,l 求它对通过中心与棒垂直 的转轴的转动惯量。,o,x,dx,dm,解:,将轴移到棒的一端,o,x,例：均质圆盘：m,R 计算它对通过盘心与 盘面垂直的转轴的转动惯量。,o,r,R,m,dr,解：,二、平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方,c,d,o,例：设一薄板，已知对板面内两垂直轴的 转动惯量分别为Jx，Jy。计算板对z轴的 转动惯量Jz
5、。,o,x,y,z,解：,例：圆盘：m,R，求以直径为轴的转动惯量,例：挂钟摆锤的转动惯量,例5-3 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）,解：,为其转过的角度。,第 四 节 定轴转动的角动量守恒定律,定轴转动角动量定理：,定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。,一、转动惯量可变物体的角动量守恒,当J增大，w就减小，当J减小，w就增大,演示,人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：,例5-4 水平转台(m1、R)可绕竖直的中心轴转动，初角速度w0
6、，一人(m2)立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。,解：,台转过的角度：,二、物体系的角动量守恒,确若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：,例5-5 摩擦离合器 飞轮1：J1、w1 摩擦轮2：J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。,两轮对共同转轴的角动量守恒,解：,试与下例的齿轮啮合过程比较。,例5-6 两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、J2，开始 1轮以w0转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。,两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理
7、：,得：,解：,例5-7 均质细棒：m1、l，水平轴O，小球：m2与棒相碰，碰前 碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。,系统对O轴角动量守恒,注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：,解：,例 如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于o，水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统 对o点及o点角动量是否守恒？为什么？,o,o,T,mg,Mg,N,解：受力如图，重力冲量矩 可忽略，对o点外力矩 为零，角动量守恒。对 o点外力矩不为零，角动 量不守恒。,第 5 节 定轴转动的功能原理,一、刚体定轴转动的动能,可分解为刚体绕质心
8、转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆周运动的动能,二、力矩的功,设作用在质元Dmi上的外力Fi位于转动平面内,z,p,三、刚体定轴转动的动能定理,四、刚体的重力势能,刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，质元i：,五、刚体定轴转动的功能原理,将重力矩作的功用重力势能差表示,得,其中，M为除重力以外的其它外力矩,若M=0,则,即刚体的机械能守恒,例5-8 细杆A：m，L，轴O，水平静止，在竖直位置与静止物块B：m 发生弹性碰撞，求碰后：,解：,例5-9 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以0转动，小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速度、圆锥体角速度。,解：,系统机械能守恒：,对竖直轴的角动量守恒：,解：,碰撞 t 极小，对 m+盘系统，冲击力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,则：,
