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1、通訊原理第六章：解調性能分析,1,http:/,大綱,線性調變接收性能 DSB/AM/SSB訊雜比基帶系統線性雙邊帶調變(DSB)的解調性能單邊帶調制系統(SSB)的解調性能振幅調變(AM)的解調性能角度調制中的雜訊在雜訊中解調輸出雜訊頻譜輸出雜訊比利用去強提高性能,2,http:/,信號與雜訊,假設信號功率是有限的。加入的雜訊，其頻寬B W，且其雙邊功率頻譜密度為。,3,http:/,訊雜比-基帶系統,為了有一個比較系統性能的基礎，我們將所得之信號通過一個低頻濾波器，其頻寬為W，以過濾多餘的雜訊，此一系統稱為基頻帶系統。,4,http:/,訊雜比-基帶系統,在頻寬B內的雜訊總功率為如此可得濾
2、波器輸入訊雜比(SNR)為,5,http:/,訊雜比-基帶系統,假設訊息信號m(t)是有限頻寬，則一個簡單的低通濾波器可以用來加強訊雜比，如圖所示。則通過濾波器的雜訊功率為,6,http:/,訊雜比-基帶系統,故濾波器輸出的訊雜比為濾波器將訊雜比加大,7,http:/,訊雜比-基帶系統,由於加了濾波器，所以頻帶以外的雜訊全被濾波器濾除，因此濾波器輸出的訊雜比可作為系統性能的合理標準。此訊雜比的參考標準在以下的討論中將廣被使用。,8,http:/,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,我們現在來計算同調雙邊帶(DSB)解調器的雜訊性能。如下圖，圖中前面加一預檢濾波器的同調解調器，這就如前面章
3、節所討論的中頻(IF)濾波器，濾波器的輸入是已調制信號 與雙邊功率頻譜密度 的白色高斯雜訊。,9,http:/,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,其中功率雜訊,10,http:/,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,由於發射信號假定為雙邊帶調制信號，接收信號可寫成其中m(t)為訊息，而 用來標示載波相位(或時間原點)的不確定性。若預檢濾波器的頻寬為2W，且雙邊帶調制信號全部通過，則在預檢濾波器的輸出可展開成同相和正交成分其中雜訊 之功率,11,http:/,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,其中信號功率為，雜訊功率為 在乘法器輸入端的預檢訊雜比為,12,http:/,後驗
4、訊雜比，須先計算 由於倍頻項被後驗濾波器移除，故解調輸出為後驗信號功率為 後驗雜訊功率為,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,13,http:/,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,在解調器輸入處的加成性雜訊導致在解調器輸出處的加成性雜訊，這是因為線性性質。故後驗訊雜比為因 上式可改寫成這等同於理想的基頻帶系統。,14,http:/,雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能,與 的比值稱為檢波增益(detection gain)，常用來作為解調器優劣的指標。而對同調雙邊帶解調器而言，檢波增益為,15,http:/,範例 6-1,考慮一信號 經由DSB-SC調變器調變後，在一帶有雜訊
5、的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中 信號頻寬，載波頻率。請計算預檢訊雜比，後驗訊雜比，及檢波增益,http:/,16,範例 6-1,http:/,17,範例 6-1,因此預檢訊雜比為：解調器輸出訊雜比為：檢波增益為：,http:/,18,單邊帶調制系統(SSB)的解調性能,對於單邊帶調制系統，預檢濾波器的輸入可寫成其中 代表 的希爾伯(Hilbert)轉換，而正號代表下邊帶的單邊帶調制，負號代表上邊帶的單邊帶調制。對單邊帶調制而言，預檢帶通濾波器的最小頻寬為W,19,http:/,將雜訊對中心頻率展開，則預檢濾波器的輸出可寫成 即所以,單邊帶調制系統(SSB)的解調性能,20,htt
6、p:/,單邊帶調制系統(SSB)的解調性能,由圖可知雜訊功率為,21,http:/,單邊帶調制系統(SSB)的解調性能,因為解調是將 乘上解調載波，再經低通濾波來達成。所以我們可用雙邊帶解調器來解決單邊帶解調的問題，結果可得,22,http:/,單邊帶調制系統(SSB)的解調性能,因此我們對下邊帶單邊調制作解調，則分別可算出後驗濾波器的雜訊功率為後驗濾波器的信號功率為故後驗訊雜比為,23,http:/,單邊帶調制系統(SSB)的解調性能,預檢濾波器信號功率為經由前面章節得到一函數與希爾伯轉換為正交，若，則 所以預檢濾波器信號功率可表示成且函數及希爾伯轉換有相同功率，所以,24,http:/,單
7、邊帶調制系統(SSB)的解調性能,同理，預檢和後驗雜訊有相同的功率預檢訊雜比為所以檢波增益為,因此，雙邊帶調制和單邊帶調制的同調解調和基帶系統有相同的性能。不過在此假設有完美的同調解調。當有相位誤差情況下，則單邊帶解調的效應會比雙邊帶解調嚴重許多。,25,http:/,範例 6-2,考慮一信號 經由SSB-SC調變器調變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中 信號頻寬，載波頻率。請計算預檢訊雜比，後驗訊雜比，及檢波增益,http:/,26,範例 6-2,輸入信號為：如同DSB-SC，在預檢情況下，其信號功率和雜訊功率與輸出時相同，因此為：,http:/,27,範例 6-2
8、,因此預檢訊雜比為：後驗雜訊比為：檢波增益為：,http:/,28,振幅調制系統(AM)：同調檢波,振幅調制信號其中 a為調制指數，而利用和雙邊帶調制系統一樣的推導得到有雜訊時解調輸出為,29,http:/,振幅調制系統(AM)：同調檢波,中不會出現直流項，理由有二：因為直流項中不包含來源訊息。大部份實用的振幅解調器並非直流耦合，故實際系統輸出並不含直流部份。,30,http:/,振幅調制系統(AM)：同調檢波,由輸出 中可得到信號功率為而雜訊功率為所以後驗訊雜比為,31,http:/,振幅調制系統(AM)：同調檢波,在預檢的情況下，其信號功率為而雜訊為所以預檢訊雜比為,32,http:/,振
9、幅調制系統(AM)：同調檢波,因此檢波增益為振幅解調傳輸系統的效率定義可表示成若效率能達到100%，則振幅調制和理想雙邊帶調制及單邊帶調制系統具有相同的後驗雜訊比，但實際上卻不然。,33,http:/,範例 6-3,考慮一信號 經由AM調變器調變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中 信號頻寬，載波頻率。請計算預檢訊雜比，後驗訊雜比，及檢波增益,http:/,34,範例 6-3,http:/,35,；輸出 的信號功率與雜訊功率分別為在預檢的情況下，信號功率與雜訊功率分別為,範例 6-3,因此預檢訊雜比為：後驗訊雜比比為：檢波增益為：,http:/,36,範例6-4,在調變
10、指數為0.5且 訊號功率為0.1下運作的振幅調變系統，其效率為而後驗訊雜比為檢波增益為,37,http:/,範例6-4,低於需要相同頻寬的理想系統16dB以上。不過，使用振幅調制的動機並非是雜訊性能，而是可使用簡單的包跡檢波解調。效率較差的原因當然是總發射功率中一大部分用在載波分量上，而此分量不是訊息信號的函數，因而不帶任何訊息。,38,http:/,振幅調制系統(AM)：包跡檢波,假設接收信號為 加上窄頻帶雜訊，因此並且可依下方向量圖求得,39,http:/,振幅調制系統(AM)：包跡檢波,其中且,40,http:/,振幅調制系統(AM)：包跡檢波,假設包跡檢波器為交流偶合使得其中 為包跡振
11、幅的平均值。首先考慮訊雜比很大時，則因此所以由上式可知，當訊雜比很大時，則包跡檢波器的輸出和同調檢波器的輸出相同。,41,http:/,振幅調制系統(AM)：包跡檢波,當訊雜比很小時，會因為包跡檢波器的非線性造成嚴重損失，此種效應稱為門限效應(threshold effect)。在屬於線性的同調檢波器中，如果信號和雜訊在檢波器輸入是相加的，則在輸出也是相加的。也就是說訊雜比低時，信號仍維持不變。基於這點，當訊號大時，包跡檢波通常比較適合。,42,http:/,振幅調制系統(AM)：平方律檢波器,平方律檢波器可用平方元件後加低通濾波器來實現，如下圖所示。此檢波器對振幅調制信號的響應為令 並完成平
12、方運算可得,43,http:/,振幅調制系統(AM)：平方律檢波器,假設檢波器輸出為交流耦合，故輸出信號和雜訊成份分別為和信號成份功率為雜訊功率為,44,http:/,振幅調制系統(AM)：平方律檢波器,因此總預檢雜訊功率為平方律檢波器輸出的訊雜比為,45,http:/,振幅調制系統(AM)：平方律檢波器,將上式與基帶系統比較。弦波調制之振幅系統總發射功率為並以 取代 可得,46,http:/,振幅調制系統(AM)：平方律檢波器,此式很清楚的說明了門限效應，當 很大時而對於小的 值,47,http:/,振幅調制系統(AM)：平方律檢波器,48,http:/,大綱,線性調變接收性能 DSB/AM
13、/SSB訊雜比基帶系統線性雙邊帶調變(DSB)的解調性能單邊帶調制系統(SSB)的解調性能振幅調變(AM)的解調性能角度調制中的雜訊在雜訊中解調輸出雜訊頻譜輸出雜訊比利用去強提高性能,49,http:/,http:/,50,前言,前面已討論過線性調變系統中雜訊的效應，現在將注意力轉移到角度調變。我們會發現在有考慮雜訊效應時，線性調變和角度調變間有極大的差異。甚至在 PM 和 FM 間也有顯著的差異。最後，還會瞭解在雜訊背景下，FM 系統可提供比線性調制和 PM 系統更大的改善性能。,http:/,51,在雜訊中解調,考慮系統，預檢濾波器的頻寬，可由卡森準則決定。換言之，其中W為訊息信號的頻寬D
14、為偏差比，即尖峰頻率偏移除以W。,http:/,52,在雜訊中解調,預檢濾波器的輸入假設為經調制的載波加上雙邊功率頻譜密度為 的白色雜訊 N(t)。即,在雜訊中解調-PM調變訊號,對PM調變訊號其中 為相位偏移常數，單位為弳度/每單位而 為經正規化使得 的尖峰值為 1 的訊息信號。,http:/,53,在雜訊中解調-FM調變訊號,對 FM 的情況其中 為偏移常數，單位為 Hz/每單位。若 的最大值不為1(一般是如此)，則由定義 所得的比例常數 K 包含在 或 中。PM 和 FM 二種情況我們會一起分析，之後再以適當函數代入取得各自的結果。,http:/,54,在雜訊中解調,預檢濾波器的輸出可寫
15、成 其中,http:/,55,在雜訊中解調,(a)式可寫成 其中 為雷萊分布雜訊包跡，為均勻分布相位。,http:/,56,在雜訊中解調,以 取代，則(b)式可寫成即,http:/,57,在雜訊中解調,上式可寫成其中 為因雜訊產生的相位偏移，可表示成,http:/,58,http:/,59,在雜訊中解調,因為 加至傳送訊息信號的 中，故為所要考慮的雜訊成份。當 時預檢濾波器輸出的相量如圖所示，若 表成,http:/,60,在雜訊中解調,則鑑別器輸入的相位偏移為若預檢訊雜 大，則在大部分時間上。對此情況(c)式變成,在雜訊中解調,http:/,61,在雜訊中解調,鑑別器輸入的相位偏移為若預檢訊雜
16、 大使得 為,http:/,62,在雜訊中解調-若預檢訊雜比大,若預檢訊雜 大值得注意的是若發射信號的振幅 增大，則雜訊 的效應變小。因此，即使在門限效應之上操作，輸出雜訊仍受發射信號之振幅的影響。,http:/,63,PM 或 FM訊號,http:/,64,在雜訊中解調-若預檢訊雜比小,如果預檢 SNR 小，則在大部分時間上，。此時的相量圖如下，,在雜訊中解調,如果預檢 SNR 小，則在大部分時間上，則 即,http:/,65,在雜訊中解調,信號 包含在 中，而 僅含雜訊。若預檢訊雜 SNR 大預檢濾波器輸出 的相位為二項的和，第一項僅含信號，第二項包含信號和雜訊分量,http:/,66,在
17、雜訊中解調,信號 包含在 中，而 僅含雜訊。若預檢訊雜 SNR 小時，預檢濾波器輸出 的相位並沒有僅含信號的項因此 FM 解調器具有和AM包跡檢波器類似的門限效應，此效應在往後會詳細說明。,http:/,67,http:/,68,在雜訊中解調,假設鑑別器含有一限制器，因而對於振幅的變化並不敏感。因此(d)式中的 可假設為一常數。在 PM 的情況下，後驗濾波器輸出 為而對 FM 情況則為其中 為鑑別器常數,http:/,69,在雜訊中解調-PM,當預檢訊雜 SNR 大則其中,http:/,70,在雜訊中解調-FM,當預檢訊雜 SNR 大則其中,http:/,71,在雜訊中解調,PM 解調輸出可用
18、訊息信號表成PM 輸出信號的功率為FM 解調輸出可用訊息信號表成FM 輸出信號的功率為在計算輸出訊雜比前，須先求輸出雜訊的功率頻譜密度。,http:/,72,輸出雜訊頻譜,對於 SNR 大情形，PM 與 FM 之鑑別器輸出雜訊的功率頻譜密度可分別由(h)式和(i)式來計算。分析的第一個步驟是令，使得 和 僅為雜訊 和 的函數，而不含信號的成分。此一假設雖能大大簡化分析程序，但似乎有太多的自由。,http:/,73,輸出雜訊頻譜,對於 SNR 大情形，在不假設 為零下仍可進行分析，推導過程會複雜許多，且可發現 的效應是當 時，產生解調輸出中的頻率成分，W為訊息信號的頻寬但此一效應可利用與鑑別器輸
19、出串聯的低通濾波器除去。,http:/,74,輸出雜訊頻譜,當其中，因此,http:/,75,輸出雜訊頻譜-PM,當 且其它地方為零時(如圖所示)，則 PM情況下輸出雜訊的功率頻譜密度為,http:/,76,輸出雜訊頻譜-PM,因此鑑別器輸出雜訊功率為,http:/,77,輸出雜訊頻譜-PM,信號頻率為。因為預檢頻寬 比 大，所以在鑑別器後加一頻寬 的低通濾波器可改善輸出的 SNR，此濾波器不影響信號，但可使輸出雜訊功率降低成,http:/,78,輸出訊雜比-PM,現在可輕易求出鑑別器輸出的訊雜比。對 PM 系統，鑑別器輸出 SNR 為定義信號功率除雜訊功率，即,http:/,79,輸出雜訊頻
20、譜-FM,因微分的關係，故在 FM 的情況下，輸出雜訊功率的計算稍微困難些。若，則，將此結果應用在 上式，則在 時可得而其它地方為零。,http:/,80,輸出雜訊頻譜,此頻譜如下圖所示。拋物線形的雜訊頻譜是因 FM 鑑別器的微分效應所造成，對含雜訊之 FM 系統的性能有深遠的影響。下圖中顯示，低頻訊息信號成分比高頻成分的雜訊位準低。,http:/,81,輸出雜訊頻譜-FM,再次假設低通濾波器僅有足夠的頻寬讓鑑別器的訊息信號通過，則輸出雜訊功率為,http:/,82,輸出訊雜比-FM,現在可輕易求出鑑別器輸出的訊雜比。對 FM 系統，鑑別器輸出 SNR 為定義信號功率除雜訊功率，即,http:
21、/,83,PM 與 FM 之雜訊功率比較,將 PM 與 FM 式寫成 的形式很有用。因為對 PM 與 FM，故有因此，對於 PM 而對於 FM，鑑別器輸出的雜訊功率為注意到，對 PM 與 FM，在鑑別器輸出端的雜訊功率都與 成反比。,http:/,84,PM 與線性調制 比較,上式顯示了 PM 對線性調制的改進和相位偏移常數與調制信號的功率有關。當 PM 信號的相位偏移超過 徑，解調的唯一性無法達成，所以 的尖峰值為，而 最大值為。這比基帶改良最大達 10 dB 左右。實際上，由於 遠低於最大值，所以實質的改進程度低很多。若加上相位解調器的輸出為連續的限制，則 有可能超過，而解調雜訊比也隨之增
22、加。,http:/,85,FM 與PM 調制 比較,對 FM，在鑑別器輸出端的訊雜比為 信號功率除以(雜訊功率，即由於尖峰偏移 與 W 的比值為偏移比 D，故輸出的 SNR 可表示成,http:/,86,FM 與PM 調制 比較,的最大值為 1。須注意 由 的最大值連同 和決定。對 FM 的情況，並沒有 PM 中輸出 SNR 大小受限的情況。事實上，D 似乎可無限制的增加，因而使輸出 SNR 增加到任意大的值。,http:/,87,FM 與PM 調制 比較,增大 SNR 所付出的一個代價是過高的傳輸頻寬。當時，所需頻寬 大約為 如此得,http:/,88,FM 與PM 調制 比較,此式說明存在
23、於頻寬與輸出 SNR 之間的權衡取捨。不過，僅在鑑別器輸入的 SNR 大到足以在門限之上運作時才有效因此只增加偏差比和傳輸頻寬並不能將輸出 SNR 增加到任意值。,範例 6-5,考慮下圖的系統信號 x(t)定義 低通波器在通帶上的增為 1 且頻寬為W，其中 n(t)是雙邊功頻譜密為 的白色雜訊，y(t)的信號成分定義成在頻 的成分,試求 y(t)的訊雜比,http:/,89,http:/,90,範例 6-5,http:/,91,利用去強提高性能,去強濾波器通常是直接置於鑑別器輸出的一階低通 RC 濾波器。調制之前，信號先通過預強濾波器，此濾波器和去強濾波器二者轉移函數的組合對訊息信號無淨效應。
24、去強濾波器之後接一頻寬 W 的理想低通濾波器，以濾去頻帶外雜訊。設去強濾波器有振幅響應其中 為 3 dB 頻率 Hz，,http:/,92,利用去強提高性能,則含去強的雜訊總輸出功率為代入得,http:/,93,利用去強提高性能,在一般情況下，所以 通常比 小。對此情況而輸出的 SNR 變成以上顯示，當 時，使用預強和去強可獲得顯著的改良。,http:/,94,範例 6-6,商用 FM 中，而 的標準值為2.1 kHz。假設 則 FM 在無預強與去強時若有預強與去強，則,http:/,95,範例 6-6,用所選的值，不含去強時 FM 優於基帶 8.75 dB，而含去強的 FM 則好 21 dB這 12.25 dB 的差約相當於 16 倍。這意味著有用預強與去強時，發射機功率可減少 16 倍，此種顯著的改進使預強與去強的使用物超所值。,
