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1、函数的最大值 与最小值,沙洲中学高二数学组 孙卫星,一、复习与引入,1.当函数f(x)在x0处可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是:如果在x0附近的左侧 右侧,那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧,那么,f(x0)是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在导数为零的点取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没
2、有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,设函数f(x)定义在a,b上,在(a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的
3、最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.,三、例题选讲,例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.,解:,令,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,例2:求函数
4、 在区间-1,3上的最大值与 最小值.,解:,令,得,相应的函数值为:,又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0,比较得,f(x)在点 处取得最大值在点 处取得最小值,延伸1:设,函数 的最 大值为1,最小值为,求常数a,b.,解:令 得x=0或a.,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)
5、的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以,练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,四、应用,1.实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,
6、满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,例1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).,令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半
7、径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得,则,令,解得,从而,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,解:设B(x,0)(0 x2),则 A(x,4x-x2).,从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).,令,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得
8、:(x-1)2+4y2=1.,设,由x,y为正实数得:,设,令,得 又,又f(0)=f()=0,故当 时,例3:证明不等式:,证:设,则,令,结合x0得x=1.,而01时,所以x=1是f(x)的极小值点.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,从而当x0时,f(x)1恒成立,即:成立.,五、小结,1.求函数f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,3.应用问题要引起重视.,(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。,(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函 数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很 有用.,六、作业,
