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1、1,第十一章 多元函数微分学,11.1 多元函数,多元函数的概念A.二元函数的定义,例2.一定量的理想气体的压强 p与容器体积 V,绝对温度 T 之间有如下关系:,例1.底面半径为 r,高为 h圆柱体体积 V为:,2,定义 设有三个变量 x,y,z,如果变量 x,y 在R2 的,当 x=x0,y=y0 时,对应的 z的取值 z0记为:z0=f(x0,y0).,x,y称为自变量,z称为因变量,自变量 x,y的取值范围 D称为定义域.,某个子集D内任取一对数值,变量z按照一定的法则,取唯一确定的数值与之对应,则称变量 z为变量 x,y的二元函数,注意:f(a,b)f(b,a);,3,三元函数 u=
2、f(x,y,z)及三元以上的函数的定义类似于二元函数的定义.,一元函数 y=f(x),数 x对应于数轴上的点P(x),故可将y=f(x)看作是点P的函数 y=f(P);,同样,二元函数 z=f(x,y),可将z=f(x,y)看作是平面点P(x,y)的函数 z=f(P);,对三元函数 u=f(x,y,z),可将u=f(x,y,z)看作是空间点P(x,y,z)的函数u=f(P);,一元或多元函数可统一地看作是点函数 z=f(P);,4,B.多元函数的定义域,在实际问题中产生的二元函数的定义域应该根据 实际问题而确定,此外就根据函数的表达式分析.,例3.求下列函数的定义域:,5,(2),解:,6,1
3、1.1.2 点集的基本知识,(1)邻域:以点P0(x0,y0)为圆心,0为半径的圆内部点组成的点集,A.平面点集,平面点集的表示法:E=(x,y)|(x,y)具有性质p,R2=(x,y)|x,yR,常见点集:,称为点P0(x0,y0)的邻域,记作:N(P0,),7,(2)去心 邻域,P0(x0,y0),x,y,(3)内点,设 P是平面点集 E中的一点,若存在P的某个 邻域 N(P0,),使得 N(P0,)E,则称 P为点集E的内点.,8,(4)外点,若存在点 P的某个邻域 N(P0,),使得 N(P0,)E=(空集),则称 P为点集E的外点.,外点,内点,边界点,E,如果点 P的任一邻域内都有
4、属于 E的点,又有不属于E的点,则称 P为点集 E的边界点.E的边界点可以属于 E,也可以不属于 E.,(5)边界点,9,(6)连通集,如果点集 E中的任意两点都可以用 E中的一条折线连结起来,则称 E是连通集.,若点集 E中的点都是内点,且 E是连通集,则称点集 E是一个区域.,(8)闭区域 开区域与它的边界的并集称为闭区域.,(9)有界集与有界区域,(7)区域(开区域),10,B.n维空间,R3=(x,y,z)|(xR,yR,zR中的有序数组(x,y,z)与空间中点具有一一对应的关系,故 R3称为三维空间.,推广之,Rn=(x1,x2,xn)|xi R,i=1,2,.,n,称为 n维空间.
5、平面点集中的有关邻域、区域等概念都可推广到n维空间。,11,11.1.3 二元函数的几何表示,给定 z=f(x,y)zf(x,y)=0任取(x0,y0)R2,取 z0=f(x0,y0),则点(x0,y0,z0)的坐标满足方程:zf(x,y)=0,点(x0,y0,z0)的全体是一张曲面,称为函数z=f(x,y)的图形.,我们已知:F(x,y,z)=0 的图形是一张曲面.,12,例4.作出下列函数的图形:,解:(1)是上半球面,球心在坐标原点O(0,0,0);(2)是上半圆锥面,顶点在坐标原点O(0,0,0);(3)是旋转椭圆抛物面,顶点在(0,0,2)处,开口朝下;(4)是旋转双叶双曲面位于xO
6、y坐标面上方的一支;,13,等高线(等值线),工程上常用等高线来描述 z=f(x,y)的图形(曲面),等高线就是:,14,三元函数 u=f(x,y,z)是不能用三维空间的几何图形与之对应.,但可以用等值面来描述和刻划,等值面:f(x,y,z)=hi,通过对一系列的等值面的了解,从而对三元函数 u=f(x,y,z)有所了解.,15,11.1.4 多元函数的极限,定义 设函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域内有定义,若动点P(x,y)以任意方式无限趋于点P0(x0,y0)(PP0)时,函数值 f(x,y)总无限趋于一个确定的常数A,则称常数A为函数 z=f(x,y)当(x,y
7、)(x0,y0)时的极限,记作:,16,定义 设函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心,邻域内有定义,如果对任意给定的正数,总存在正数,使得:当点P(x,y)满足:,则称常数A为函数 z=f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的(二重)极限.,17,例5.证明:,解:,18,故取,恒有:,19,求一元函数极限的四则运算性质,及夹逼性等,例6.证明:,极限性质都可以推广到多元函数的极限.,20,例7.讨论二元函数,解:当P(x,y)沿过原点的直线 y=kx 趋于(0,0)时,当 P(x,y)(0,0)时极限是否存在?,此值随 k而变化,故,21,11.1.5 二元函数的连续性,
8、定义 设函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内 有定义,如果,A.连续的概念,则称函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处连续,并称点 P0(x0,y0)是函数z=f(x,y)的连续点.,如果函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处不连续,则称点 P0(x0,y0)是函数 z=f(x,y)的间断点.,22,记 x=x0+x,y=y0+y,z=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0),故函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,等价于,如果函数z=f(x,y)在区域 D内的每一点都连续,则称函数z=f(x,y)在区域 D内连续.,23,B.多元初等函数的
9、连续性,若点 P0(x0,y0)是初等函数 z=f(x,y)定义域内一点,多元初等函数在其定义区域内都是连续的.,三元及三元以上多元函数的连续性可类似地定义.,如果函数z=f(x,y)在定义域内连续,则它的图形是一张无空无隙的曲面.,24,C.间断点的讨论,根据二元函数在一点 P0(x0,y0)连续定义得:二元函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处满足下面三个条件之一,则点 P0(x0,y0)就是 z=f(x,y)的间断点:(1)函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处没有定义;(2)函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处有定义,但P(x,y)P0(x0,y0)时,
10、f(x,y)的极限不存在.(3)函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处有定义,P(x,y)P0(x0,y0)时,f(x,y)的极限存在,但是函数值不等于极限值.,25,例8.讨论下列函数的间断点:,解:f(x,y)是初等函数,在定义域内的任意点处都 连续,当 x,y 同时为整数时,f(x,y)没有定义,故间断点是:(m,n),其中 m,n 均取整数;,26,解:f(x,y)是分段函数,故原点O(0,0)是函数f(x,y)唯一的间断点.,27,(3),故当 a 0时,原点O是f(x,y)的间断点.,当a=0时,原点O是f(x,y)的连续点.,28,(4),解:,29,D.最值定理与介值定理,定理1 如果f(x,y)在有界闭区域 D上连续,则 f(x,y)在 D上一定取到最大值和最小值,即(1)在D上至少存在一点(1,1),使得:f(x,y)f(1,1),对一切(x,y)D,(2)在D上至少存在一点(2,2),使得:f(x,y)f(2,2),对一切(x,y)D.,30,定理2 如果 f(x,y)在有界闭区域 D上连续,则 f(x,y)在 D上必可取到介于最大值 M与最小值 m 之间的一切值.即如果常数 满足:m M,则在D内至少存在一点(,),使得:f(,)=.,31,作业 P196,6;7(2),(3);8(1),(2);B.3;,
