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1、9第九章 多元函数微分学及其应用第九章 多元函数微分学及其应用 第九章 多元函数微分学及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、求下列各函数的定义域，并作出其草图. (1) z=1-x2+1-y2； 解: 定义域D=(x,y)-1x1,-1y1,图略 2(2) z=4x-yln(1-x2-y2)； 4x-y20解: 由1-x2-y20得: 1-x2-y21定义域D=(x,y)0x2+y21,y24x,图略 (3) z=arcsin 解: 由-1x2+2y2-11得: 定义域D=(x,y)x2+2y22,图略 设f(x-y,y22x)=x-y，求f(x,y) xt解:令x-y=t=y1-sx=s
2、,得：ts y=1-s 2代入得f(t,s)=t(1+s)1-s2故f(x,y)=x(1+y)1-y 3、求下列极限： (1) lim1-(xy)2+exx03； y1x2+y解: (直接代入)原式=1-0+10+1=2 (2) lim1-cos(xy)； x0x2y2y0+1-11 第九章 多元函数微分学及其应用 (xy)2(x2y2+1+1)解:原式=lim2x0y0x2y2=1 (3)limsin(xy)1(1+xy)y； x2y0yx原式= limxsin(xy)1解:(1+xy)xy=2e2 x2y0xy4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 2(1) limx-yx0y； y
3、0解:当x0时，令y=kx2，则 22limx2-yy=limx-kx=1-k，其值与k有关，故极限不存在x0x0y0y=kx2kx2k (2) lim5x-6yx2+y2； xy解:当x,y时，有 05x-6yx2+y25xx2+y2+6yx2+y25xx2+6yy20， 故lim5x-6yxx2+y2=0 y5、设f(x,y)=x-yx+y，求limlimf(x,y)和limlimf(x,y)试问：x0y0y0x0极限limf(x,y)是否存在？为什么？ x0y0解: limlimf(x,y)=1，limlimf(x,y)=-1 x0y0y0x0极限limf(x,y)不存在，因为当x0时，
4、令y=kx，其值与k有关x0y026、研究函数f(x,y)=1,x+y200,x2+y2=0的连续性 解:limf(x,y)=10=f(0,0)，故函数在(0,0)处不连续，其它处均连续x0y02 第九章 多元函数微分学及其应用 第二节 偏导数 填空题： 解: zx=(1+xy)ln(1+xy)+xxy1+xy ，zy=x(1+xy)2x-1 (1) fx,fy在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在该点连续的 既非充分也非必要 条件； z=(2)曲线 1+x+yx=122(3) u=xy ； 在点(1,1,3)处的切线与y轴正向所成z解: ux=yxzy-1z ，uy=zyz-1xyzlnx
5、，uz=ylnyxzyzlnx 的角是p6； 3求下列函数的二阶偏导数： (1)z=xln(x+y) (3)设z=lnyx，则xyzx=-1x，zy=1y； 解: zx=ln(x+y)+xx+y2 ，zy=xx+y， (4)设f(x,y,z)=ze，则fx(0,0,1)=0，fy(0,0,1)=0，fz(0,0,1)=1 2求下列函数的一阶偏导数： zx222=x+2y(x+y)x(x+y)2，zxyz2=y(x+y)y(x+y)2， (1)z=zxxyx+y ； zy2=-2，yx=2解: =y22(x+y) ，zy=x22(x+y) (2)z=arcsinzxxy1 ； (2) z=(1+
6、xy) x解: =y-x22 ，zy=y-xy-x22， 3 第九章 多元函数微分学及其应用 zx22=x(y2-x)2-32，zxy22=-y(y2-x)2-32， =limy0ycos1(y)y2-0=limcosy01(y)2，极限不存在，故此点处关于yzy22=xy2(y2-x)2-12+x(y-x)2-32，zyx2=-1y(y2-x)2-12+x(y22-x)2-32 1,ycos224设函数f(x,y)=x+y0,x+yx+y2220,=0,判断其在点(0,0)处的2连续性和偏导数是否存在 解: 1）Qlimf(x,y)=limycosx0x0y0y01x+y22=0=f(0,0
7、) 故函数在点(0,0)处连续； 2）fx(0,0)=limfy(0,0)=limf(0+x,0)-f(0,0)x=lim0-0x=0 x0x0f(0,0+y)-f(0,0)yy0的偏导数不存在 4 第九章 多元函数微分学及其应用 第三节 全微分 填空选择题： (1)二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微的充分必要条件是limz-dz=0，其中z=f(x+x,y+y)-f(x,y), 0dz为表达式f2x(x,y)x+fy(x,y)x,r=(x)2+(y) (2) 在点(x,y)处df(x,y)存在的充分条件为C Af的全部二阶偏导数均存在； Bf连续； Cf的全部一阶偏导数均连续； D
8、f连续且fx,fy均存在 2求函数z=xy当x=2，y=1，Dx=0.1，Dy=-0.2时的全增量和全微分 解:z=2.10.8-21=-0.32 dz=zxx+zyy=10.1+2(-0.2)=-0.3 3求下列函数的全微分： 5 (1) z=x3y2 解: z22z3x=3xy ，y=2xy dz=zz223xdx+ydy=3xydx+2xydy (2) z=xy解: zx=12xy ，zy=-xyy2dz=zdx+zxydy=1dx-xy2xyy2dy (3) u=ln(x2+y2+z2) 解: ux=2xux2+y2+z2 ，y=2yx2+y2+z2，u2zz=x2+y2+z2第九章
9、多元函数微分学及其应用 du=2xx+y+z222dx+2yx+y+z222dy+2zx+y+z222dz 4讨论函数z=zx(0,0)xy在点(0,0)处的可导性与可微性 解:=limx0-0xx0=0, zy(0,0)=lim0y-0yx0=0, 故函数z=xy在点(0,0)处的偏导数存在； 但limz-dz0=limxy0(x)2+(y)2，其中r=(x)2+(y) 2易知当(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时此极限不存在。故函数z=xy在点(0,0)处不可微 6 第九章 多元函数微分学及其应用 第四节 多元复合函数的求导法则 求下列函数的偏导数或全导数： (1) z=x2-y2，x=
10、3t,y=4t3 解:dzdxdt=zzxdt+ydydt=1(3x-12yt3) x2-y2= 1(6t-48t6) 9t2-16t6(2) z=y+f(v),v=y2-x2，其中f可导 解: zx=f(v)vx=-2xf(v) zy=1+f(v)vy=1+2yf(v) (3) z=xey，y=j(x)，其中j可导 解: dzzzdyyydx=x+ydx=e+xej(x) (4)设z=u2v3,u=x+2y,v=x-y，求zzx,y 解: zzuzv2x=ux+vx=2uv3+3u2v zuy=zuy+zvvy=4uv3-3u2v2(5) z=u2v3w，u=2t+1,v=t3,w=3t-1
11、 解:dzdt=4uv3w+9u2v2wt2+3u2v32求下列函数的偏导数： (1) z=f(x2+y3,sin(xy)，其中f可导，求zzx， y解: zx=2xf1+ycos(xy)f2 zy=3y2f1+xcos(xy)f2 (2) u=f(x-exy+xsin(yz)，其中f可导，求ux，u，uyz解: u=(1-exxy+sin(yz)f， 7 第九章 多元函数微分学及其应用 uy=(-ex+xzcos(yz)f ，uz=xycos(yz)f 2(3) 设z=f(u,x,y),u=xey，其中f二阶可导，求zx，zxy 解: zyx=ef1+f2， 2z=eyf2yfyyxy1+x
12、e11+ef13+xef21+f23 2z2(4) 设z=f(xy2,x2y),f具有二阶连续偏导数，求，z2zx2xy，y2解: zx=y2f21+2xyf2，zy=2xyf1+xf2 2zx=2yf422+yf11+4xy3f12+4x2y2f22 2zxy=2yf1+2xf2+2xy3f+5x2y2f31112+2xyf22 2zy2=2xf1+4x2y2f+4x3yf41112+xf22 3已知函数f，g可导，验证u=f(x+at)+g(x-at)满足 2u2ut2=a2x2 2证明：ut=af-ag，ut2=a2f+a2g， u222x=f+g，ux2=f+g，故u2u t2=ax2
13、8 第九章 多元函数微分学及其应用 第五节 隐函数的求导公式 1设方程xy+x2+y2=2确定了隐函数y=y(x)，求22dz=dydxcos(x+y-z)-1cos(x+y-z)+1dx+cos(x+y-z)cos(x+y-z)+1dy 3设方程e-xy+e-z=2z确定了隐函数z=z(x,y)，求zx，zx22 解:令F(x,y)=xy+x+y-2，Fx=y+2x 解:令F(x,y,z)=eFy=x+2y， -xy+e-z-2z，Fx=-yexy，Fz=-ez-2 则dydx=-FxFy=-y+2xx+2y， 则zx=-FxFz-xy=-ye-z-xy(e-z+2)， 提示：另还可用两边直
14、接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。 2设方程sin(x+y-z)=z+x确定了隐函数z=z(x,y)，求dz zxzx22=ye2(e+2)2+e3-(z+xy)(e-z +2)，zy，4设隐函数z=z(x,y)由方程F(x+zy,y+zx)=0所确定，证明解:令F(x,y,z)=sin(x+y-z)-z-x，Fx=cos(x+y-z)-1 Fy=cos(x+y-z)，Fz=-cos(x+y-z)-1 xzx+yzy=z-xy zx2证明：Fx=F1-则zx=-FxFzF2 =cos(x+y-z)-1cos(x+y-z)+1，zy=-FyFz=cos(x+y-z)cos(x+
15、y-z)+1Fy=-zy2F1+F2，Fz=1yF1+1xF2, 9 第九章 多元函数微分学及其应用 zx=-FxFzF1-=-1zx2F2F1+1,F2zy=-FyFzF2-=-1zy2F1F1+1, F223u3v2uxv+v+x+yuvx=1=0故ux=-3v-x9uv-xy223，vx=3u+yv9uv-xy222yxy故xzx+yzy=z-xy 5求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：x2+y2+z2(1)设-50=0，求dydzx+2y+3z=4dx，dx 解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： dydz2x+2y+2z=0dxdx 1+2dydx+3dzdx=0故dy-3
16、x+zdx=，dz2x-y3y-2zdx=3y-2z (2)设u3+xu=y，求u，u，v，vv3 +yu=xxyxy解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： xxx23同理可得到：u3v+xuv-3u-y y=9u2v2，-xyy=9u2v2-xy6设y=f(x,t),而t是由F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数，其中f,F均有一阶连续的偏导数，求dydx 解:联立方程组y=f(x,t)x求偏导，得： F(x,y,t)=0两边直接对自变量dyt=fx+ftdxx dytFx+Fydx+Ftx=0故dy=fxFt-ftFxdxftF y+Ft10 第九章 多元函数微分学及其应用 第六节
17、多元函数微分学的几何应用 1求曲线x=t,y=sint,z=1cost在对应t=解:用隐函数组求导的方法得到pdydx=2xz+x-y-2yz，dzdx=0-y-2yz的点处的切线方程和224法平面方程 解:切向量Tr=(x,y,z)12t=(,-2) 42,24曲线在对应t=p4的点处的切线方程为： x-py-228=2z-41，法平面方程为：2=222-41(x-p22228)+22(y-2)-4(z-4)=0，即2x+22y-2z=p34+2 2求曲线x2+y2+z2=6在点Mz=x20(1,1,2)处的切线方程及法平面方+y2程 点rM1,dydz0(1,1,2)处的切向量T=(dx,
18、dx)=(1,-1,0) M0曲线在对应点M0(1,1,2)处的切线方程为： x-1y-121=-1=z-0，法平面方程为：x-y=0 3求曲面z=x2+y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程 解: 法向量nr=(zx,zy,-1)(1,1,2)=(2,2,-1) 故所求切平面方程为2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0即2x+2y-z-2=0 法线方程为：x-1-12=y2=z-2-14求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面p的方程，使平面p过已知直线L:x-62=y-31=2z-1-2 11 第九章 多元函数微分学及其应用 解:设点M的坐标为(x0y0,z0) ，
19、则切平面p的法向量r1r直线L过点(6,3,)，且方向向量为l=(2,1,-1)， n=(2x0,4y0,6z0)，2设向量s=rrrrrbc,1，有ns=0，即ns， aar，该直线就是所求平s就是过点M(x,y,z)的某直线的方向向量4x0+4y0-6z0=01故有2x0(x0-6)+4y0(y0-3)+6z0(z0-)=0， 2222x0+2y0+3z0=21x0=3x0=1解得y0=0或y0=2 z=2z=200行于切平面的定直线 所求切平面方程为x+2z=7或x+4y+6z=21 注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面p的方程，同样可求得点(x0y0,z0)，过程略 5设F(u,
20、v)是可微函数，证明：曲面F(ax-bz,ay-cz)=0(abc0)的切平面平行于某定直线 证明：曲面在任意点M(x,y,z)处切平面的法向量rn=(aF1,aF2,-bF1-cF2)， 12 第九章 多元函数微分学及其应用 第七节 方向导数与梯度 1填空题： ，其方向余弦为cosa=352uz，cosb=452，cosg=-552(1) f,f在点(x0,y0)处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分xy也不必要条件 uxy(2) 函数z=xe2 rr(1,0)在点沿i+j方向的方向导数最大，其最大值是xul=20，(3,4,5)uy(3,4,5)=15，=12 (3,4,5)=uxcos
21、a+uycosb+uzcosg=62 2求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数 解: zx4设f(x,y,z)=x2yz，求grad方向导数 dydx(1,2)f(1,2,-1)，并求函数沿该梯度方向的=1x+y，zyzy=1x+y，tanq=22，q=p4， 2解:fx=2xyz，fy=xz，fx=xy 2gradzl=zxcosq+sinq=23rrruf(1,2,-1)=-4i-j+2k，=gradlf(1,2,-1)=21 3求函数u=xyz在点(3,4,5)处沿着锥面z=方向导数 解: zxx+y22的外法线方向的=xx+
22、y22=35，zy=yx+y22=45，锥面的外法线方向为 13 第九章 多元函数微分学及其应用 第八节 多元函数的极值及其求法 1填空题： (1)二元函数的极值只可能在驻点和_不可导点_处取得 3求由6x2+4y2+3z2-12x+6z-3=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解:令F(x,y,z)=6x2+4y2+3z2-12x+6z-3由隐函数求导得Fx2x-2z=-=-=0Fzz+1x得驻点(1,0)， 代入原方程得： Fz4yy=-=-=0Fz3z+3yz+2z-3=0，解得z=1,z=-3，由方程知此曲面为椭球面，故 2(2)若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且
23、在点(x0,y0)处有极值，则有fx(x0,y0)=_0_,fy(x0,y0)=_0_ 2求函数f(x,y)=xy(a-x-y)的极值 fx=y(a-x-y)-xy=0aa解:由得驻点(0,0)，(0,a)，(a,0)，(,) 33fy=x(a-x-y)-xy=0函数z=f(x,y)的极大值为1，极小值为-3 4求函数z=cosx+cosy+cos(x-y)在闭区域A=fxx=-2y，B=fxy=a-2x-2y，C=fyy=-2x 对四个驻点分别计算AC-B，易知(0,0)，(0,a)，(a,0)处都有D:0xAC-B22p2,0yp2上的最大值和最小值 0，解: (1)求D内的驻点： z=-
24、sinx-sin(x-y)=0x由z得sinx+siny=0，无零点，故D=-siny+sin(x-y)=0yA=-2y=-23a,所以当a0时，函数在此点取得极小值27，当a0内时，函数在此点取得极大值a327 无驻点，函数的最值只能在边界上达到； (2) 求函数在边界上的最值 14 第九章 多元函数微分学及其应用 当x=0,0y2时，z=1+2cosy，z(0,0)=3,z(0,)=1，同理可2p6求函数u=xyz在条件x2+y2+z2=1，x+y+z=0下的极值 解: 作拉格朗日函数L(x,y,z)=xyz+(x2讨论另外三条边界，得z(p2,0)=z(pp2,2)=1 +y+z-1)+
25、(x+y+z) 22(,0)，(,)函数的最大值3在(0,0)处达到，最小值1在(0,)，2222pppp三点处达到 5经过第一卦限中的点a,b,c作平面与三坐标轴相交，如何作法使该平面与坐标面围成的四面体体积最小 解:设该平面方程为xACABC1目标函数：四面体体积V=ABC， 61abc+-1) 作拉格朗日函数L(A,B,C)=ABC+(6ABC+yB+z=1，则有a+b+c=1， FxFy由Fz=yz+2x+=0=xz+2y+=0=xy+2z+=0得驻点M1,2=(x+y+z22216,16,-26)，=1x+y+z=0M3,4=(-26,16,16)，M5,6=(16,-26,16)
26、222两曲面x+y+z=1，x+y+z=0的交线为一个圆心在原点，半径为1的大圆，易得函数在M1,M3,M5三点处有极小值-136，在LALB由LCab+BA=0A=3a得驻点B=3b =0C=3cc+=1C=0M2,M3,M6三点处有极大值136 由于驻点唯一且此问题定有最小值存在，故知作该平面与三坐标轴的截距分别为3a,3b,3c时，满足题意。 15 第九章 多元函数微分学及其应用 第八章综合练习 1用不等式和图形表示下列二元函数的定义域： (1)z=4y-x2-y2+x2+y2-2y 解: 定义域：D=(x,y)2yx2+y24y，图略(2)z=ln(y-x)2x-y 解: 定义域：D=
27、(x,y)xy0且a0时函数有唯一极大值，当2a-b20且a0时函数有唯一极大值 18 第九章 多元函数微分学及其应用 11求曲面x+y+z=1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大 解: 曲面上任意点(x处的法向量nr=1110,y0,z0)2x,02y02z0 切平面方程为12x(x-x0)+102y(y-y0)+10)=0，即 02z(z-z01,yxx+10yy+10zz=1，所以截距分别为x00,z0 0目标函数设为f(x0,y0,z0)=x0y0z0， 作拉格朗日函数L(x0,y0,z0)=x0y0z0+(x0+y0+z0-1) Lx0=y0z0+=02x01x0=09由Ly0=x0z0+2y=10得唯一驻点y0 Lz0=x0y0+=092zz=1009x0+y0+z0=1故所求切平面的方程是x+y+z=13 19
