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1、Nanjing University of Technology,第七章A 剪力图与弯矩图,杆件承受横向力或面内力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。,梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种内力。,梁横截面上应力非均匀分布，强度失效最先从应力最大点处发生。其强度计算不仅要考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的“危险点”,绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。,建立剪力方程和弯矩方程；绘制剪力图与弯矩图，推导弯曲应力和变形公式；建立弯曲强度和刚度设计方法。,工程中可以看作梁的杆件是很多的:,桥式吊车的大梁可以简化为两端铰支的简
2、支梁,直立式反应塔可以简化为一悬臂梁,火车轮轴可以简化为两端外伸梁,弯曲梁的内力,弯曲变形的内力,请思考：弯曲变形有几个内力参数？,Q,Q,1、求支反力,2、1-1面上的内力,自左向右计算,自右向左计算又如何？,截面法，平衡分析；刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,弯曲变形有两个内力参数：剪力Q和弯矩M,剪力符号规定：,弯矩符号规定：,左上右下为正,下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆)为正,或使该段梁顺时针转动为正,M,M,M,M,Q,Q,Q,Q,弯曲变形的内力,左和右指什么，上和下又指什么？左右、上下的两种解释,左和右指什么，顺和逆又指什么？左右、顺逆的两种解释,根据
3、支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：,1、固定铰支座,2.可动铰支座,3.固定端支座,支座的分类,1、简支梁,2、外伸梁,3、悬臂梁,梁的类型,指定横截面上弯矩和剪力的确定,例 题,一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO的作用。,试确定:截面C及截面D上的剪力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。,用假想横截面从指定横截面处将梁一分为二。考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。,解：1、应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。,2、应用截面法确定C截面上的内力分量,用假想截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象,横截
4、面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量,2.应用截面法确定C截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,结果均为正值表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。,3、应用截面法确定D截面上的内力分量,假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：,本例中所选择的研究对象都是C、D截面以左部分梁，如果以C、D截面以右部分梁作为平衡对象，会如何？,求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。,例题,Q3,M3,Q2,Q4,M4,q,将Q2与Q1相比，观察剪力的跳跃问题,通过上述计算可以看出，截面上
5、的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力.,可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩,必须注意求代数和时各项的正负号,求剪力时的横向力为“左上右下为正，左下右上为负”,求弯矩时的横向力对截面形心的力矩以及一侧杆段上的力偶为“左顺右逆为正，左逆右顺为负”,注意上述规定均基于x轴正向位于右手侧，若相反则规定相反,l:力的作用线至所求截面的距离,轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃；那么什么力作用
6、面两侧弯矩会发生跳跃？,例题 求图示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩。,RA,RB,RA=15kN,RB=29kN,根据1-1截面左侧的外力计算Q1、M1,Q1=+RAP=158=7kN,M1=+RA2P(21.5)=15280.5=26 kNm,解：,若根据1-1截面右侧的外力计算Q1、M1,Q1=+(q3)RB=12329=7kN,M1=-(q3)2.5+RB4=(123)2.5+294=26 kNm,RA=15kN,RB=29kN,根据2-2截面右侧的外力计算Q2、M2,Q2=+(q1.5)RB=121.529=11kN,M2=(q1.5)1.5/2+RB1.5=(121.5)1.5
7、/2+291.5=30 kNm,根据2-2截面左侧外力计算Q2、M2,请自己完成!,梁的内力方程 内力图,建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。,需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而Q(x)和M(x)则是x的函数。,例题,悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M2FPl 的作用。梁的全长为2l。试求梁的剪力和弯矩方程。,解：,由载荷分布可知需要分为AC和CB两段分析。,以梁的左端A为坐标原点，建立Oxy坐标系。,在AC和CB两段分别以坐标为x1和x2的横截
8、面将梁截开，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。,对于AC段梁的剪力和弯矩方程，在x1处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程,得到AC段的剪力方程与弯矩方程：,得到CB段的剪力方程与弯矩方程：,对于CB段梁的剪力和弯矩方程，在x2处截开后，考察右边部分的平衡。,根据平衡方程,上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩方程不同，但都是x的线性函数。注意：C截面两侧弯矩的跳跃情况！,如图简支梁，梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度为2l。试求梁的剪力和弯矩方程。,例题,根据平衡条件不难求得：,建立Oxy坐标系如图。此梁不需分段分析。,以
9、A、B之间坐标为x的任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研究对象。,由左段梁的平衡条件,得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为,这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。,例题,Q,例题,Q,例题,Q,M,注意：集中力偶M作用点C处弯矩的跳跃,例题,简支梁受移动荷载P作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载P的位置。,解：,荷载P移至x截面处，,Mmax(x)=Px(L-x)/L,位置：x截面,令,x=L/2时，Mmax=P L/4,跨中为最不利位置,例题,作图示平面刚架的内力图.,3m,2m,解：,BC段,FN=0,Q=10kN,M=-10 x kNm(0 x2),BA段,F
10、N=-10kN,Q=20kN,M=-20-20 x kNm(0 x3),一般将竖直杆的下端看作左端,10kN,轴力图,剪力图,10kN,20kN,弯矩图,20kNm,20kNm,80kNm,轴力正值画在外侧，负值画在内侧。剪力正值画在外侧，负值画在内侧。弯矩正值画在受压侧。,载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系,考察 dx 微段的受力与平衡,剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明,Fy=0:,MC=0:,略去高阶项，得到,1、梁上无分布荷载作用：q(x)=0,剪力图斜率为零，为平行于x轴的直线,弯矩图斜率为常量C，为斜直线,2、梁上作用有均布荷载:q(x)=C,根据上述微分方程，由载荷变化规律
11、，即可推知内力Q、M 的变化规律。,剪力图为斜率为C的斜直线,（弯矩图为二次抛物线）,顶点（极值点）：,0有极小值,0有极大值,注意坐标方向不同，曲线开口方向不同,实际上，除了在剪力为0的截面上存在弯矩的极值外，在集中力偶和横向集中力作用截面处，也有可能获得弯矩的极值。为何？,另外，除非有横向集中力作用，否则杆件端截面处的剪力一定为零,另外，除非有集中力偶作用，否则杆件端截面处的弯矩一定为零,各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图,剪力图与弯矩图的绘制方法,根据载荷及约束力情况对杆件分段，且确定关键面。,应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值（假定剪力和弯矩都为正方向）。,建立Qx和Mx坐标系，并将
12、关键面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。,应用平衡微分方程确定各段关键面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,简支梁受力的大小和方向如图所示。试画出：其剪力图和弯矩图，并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,例 题,求得A、B 两处的约束力 FRA0.89 kN,FRF1.11 kN,根据力矩平衡方程,因为梁上无分布载荷作用，所以剪力Q图形均为平行于x轴的直线。,确定关键面两侧的剪力和弯矩值，并将其标在坐标系中。,弯矩M图形均为斜直线。顺序连接Qx和Mx坐标系中各点，得到剪力图与弯矩图。,建立Q-x和M-x坐标系。,(发生在EF段),(发生在D、E截面上),始终要注意剪力、弯矩的跳
13、跃问题！,例 题,外伸梁的受力以及各部分尺寸如图所示。试画出其剪力图和弯矩图，并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,根据梁的整体平衡，由,求得：,建立Qx和Mx坐标系。,确定关键面上的剪力和弯矩值，并将其标在Qx和Mx坐标系中。,在AB段上，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线。,在AB段上，因有均布载荷作用，弯矩图为二次抛物线。且因q向下为负，为上凸抛物线。从剪力图可知在e点剪力为零，故此处有弯矩极值。,极值点的位置可由几何关系求得,从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为,例题,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,解：求支反力,作剪力图,Q,7,3,3,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,Q,7,3,1,3,BD：水平直线,BE：水平直线,2,作弯矩图,M,20,20.5,16,x,m,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,Q,7,3,1,3,2,M,20,20.5,16,6,6,x,例题,一般作剪力图时，从左往右，随力的方向走。,例题,例题,
