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1、1,7 序贯实验设计,系统实验设计法:对实验先进行系统全面设计，然后按步就班完成各个实验的研究。序贯实验设计法：有不少实验优化方向难以预见确定，下一步的实验方案往往要根据上一步的实验结果来设计，也即实验必须一个接着一个开展，时间上有先后，步骤上分前后。,序贯实验设计法可分为登山法和消去法两类。登山法是逐步向最优化目标逼近的过程，就象登山一样朝山顶(最高峰)挺进。2消去法则是不断地去除非优化的区域，使得优化目标存在的范围越来越小，就象去水抓鱼一样逐步缩小包围圈，最终获得优化实验条件。,7.1 单因素优选法,优选法是以数学原理为指导，以尽可能少的实验次数找到最优实验方案的一类方法。一般在目标函数无
2、明显表达式时采用，运用此方法可以节约大量的人力、物力和时间。例如在单因素实验设计的情况下，如果均分法需做1000次实验，则用优选法只需做14次左右实验就能达到同样的实验精度，所以这一方法在国内外各个领域中都得到了广泛应用。,7.1.1 黄金分割法 黄金分割法，又称0.6l8法、折纸法。一般适用于对实验总次数预先不做规定、每次做一个实验的情况。,例7-1 为了改善某油品的性能，需在油品中加入一种添加剂，其加入量在200 gt到400 gt之间，试确定添加剂的最佳加入量。解：这里考察因素只有添加剂加入量一个，总实验次数不限，可采用0.618法：,第一，确定第一个实验点。如图7-1(1)取一张纸条，
3、其刻度为200400 g，在纸条全长的0.618处划一条直线，在该直线所指示的刻度上做第一次实验，即按323.6 g做实验。,第二，确定第二个实验点。用对折法，以中点300 g为准将纸条依中对折，如图7-1(2)所示，找出对折后与323.6 g相对应的点划第二条线。第二条线的位置正好在纸条全长的0.382处，该点刻度276.4 g，按276.4 g做实验。,第三，比较两次实验的结果，若比效果好，则在323.6 g处把纸条右边一段剪去（若比效果好，则在276.4 g处把纸条左边一段剪去）。剪去一端，余下的纸条再重复上面的对折法，找出第三个实验点，该实验点为247.2 g做实验。如图7-1(3)所
4、示。,第四，比较实验的结果，如果仍然是比好，则将247.2 g左边一段剪去，余下依中对折，找出第四个实验点294.4 g做实验。如图7-1(4)所示。,第五，比较实验再剪去一端，按对折法，依次往后不断确定新的实验点。每往后进行一次实验，都比前一次更加接近所需要的加入量。本例共做了8次实验，实验在纸条上所示的位置分别为265.2 g、283.2 g、287.6 g、280.8 g，当做到第8次实验时，认为已取得较满意的结果，另外，剩余的实验范围已很小，重新实验的结果相差不大，因此可以终止实验。经过比较，最后获得添加剂的最佳加入量为280.8 g。此法实验精度相当于均分法80多次，提高工效10多倍
5、，节约了大量人力、物力。,由上例可见：(1)0.618法是在给定的实验范围内确定的最佳点。若实验范围估算不准确，那么就会失去运用该方法的意义。因此需根据专业知识和实践经验仔细估算实验范围，以寻找出最佳的实验结果。(2)采用0.618法安排实验，每次剪掉的纸条长度都是上次的0.382；而留下来的是上次长度的0.618。“去短留长”无论剪掉左边还是右边，都将中间一段保留下来，而且随着实验的一次次进行，中间段的范围越来越小，实验过的较好点一步又一步接近实验所要寻求的最优点。(3)除了第1次需做2个实验外，其余每次只做一个新实验。(4)在实际操作时，每次实验所取数值的确定，可以采用以下简便公式计算：第
6、一个实验点，应取数值为：小头+0.618(大头-小头)以后各次实验点应取数值为：(大头+小头-前次留下的实验点)，简单说就是：加两头，减中间。第一次实验点200+0.618(400-200)323.6第二次实验点400+200-323.6276.4第三次实验点323.6+200-276.4247.2第四次实验点323.6+247.2-276.4294.4,例7-2 某电化学反应中电流对电解产物的产率影响存在最佳值，试用黄金分割法确定最佳电流值，实验范围为540 mA。,解：实验过程如图7-2：优于；优于；优于；优于；优于，最佳电流值为19.56 mA。6次实验误差19.56-18.37=1.1
7、9 mA。采用均分法达到该精度的实验次数为(40-5)/1.19=29次。,图7-2 实验安排过程,7.1.2 分数法分数法的原理与0.618法完全一样。预先规定了实验总次数的情况，我们就要用分数法。分数法与0.618法的不同仅在于第一次实验点的选取方法不同。,“菲比那契数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，递推关系：F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1，,数列：1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,21/34，的渐近数0.618。,步骤如下：如实验范围已定，要求只做n次实验，分数法的第一个实验点是在实验范围全长的Fn+1/Fn+2 位置进行。后面
8、的实验点的选取，均按0.618法步骤依次进行，直到做完n次实验，即可得到n次实验中的最佳实验方案。,例7-3 某化学反应的反应温度范围为120200，要求只进行4次实验，找出最好的实验结果。,解：已知总实验次数：n4。由菲比那契数列得知Fn+2F6=8，Fn+1F5=5，于是按分数法应在实验范围总长的Fn+1/Fn+2=5/8处安排做第一次实验，即第一实验点是在：l20+(200-120)5/8170 进行。用“加两头，减中间”计算可得第二次实验点为：200+120-170150 比较实验、结果，发现好，去掉170 以上部分，对余下部分求得第三实验点为：170+120-150140 即在第2等
9、份处做实验。比较实验、结果，仍是好，去掉140 以下部分，对余下部分求第四实验点为：170+140-150160 在第4等份处做实验，比较实验、结果，还是好，故最后确定150 是4次实验中较好的反应温度。,例7-4 某厂对锅炉结垢进行清洗，选用敲下来的垢片做实验，放入17、10的盐酸液内沸煮，17的需要180 min溶解，10%的需130 min溶解。接着，又做了一次30的实验，沸煮300 min垢仍不溶解，说明高浓度不好。因此，决定选取2%10%的区间，限定做4次实验，用分数法进行优选。解：把实验范围分8等份，先后在7、5、4、6的盐酸溶液中共做4次实验。比较各次实验结果，以采用6%的盐酸液
10、除垢效果最佳。实验安排及实验结果见图7-4和表7-2。,表7-2 实验结果,7.1.3 对分法,前面介绍的几种方法都是先做两个实验，再通过比较，找出最好点所在的倾向性来不断缩小实验范围，最后找到最佳点。但不是所有的问题都要先做两点，有时实验是朝一个方向进行的，无需对比两个实验结果。,例如，称量质量为2060 g某种样品时，第一次砝码的质量为40 g，如果砝码偏轻，则可判断样品的质量为4060 g，于是第二次砝码的质量改为50 g，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量为5060 g，接下来砝码的质量应为55 g，如此称下去，直到天平平衡为准。称量过程如图7-5所示。,图7-5 对分法实验过程,这个
11、称量过程中就使用了对分法(也叫平分法)，每个实验点的位置都在实验区间的中点，每做一次实验，实验区间长度就缩短一半，可见，对分法不仅分法简单，而且能很快地逼近最好点。,但不是所有的问题都能用对分法，只有符合以下两个条件的时候才能使用。要有一个标准（或具体指标）。对分法每次只有一个实验，如果没有一个标准，就无法鉴别实验结果是好是坏。在上述例子中，天平是否平衡就是一个标准。要预知该因素对指标的影响规律。也就是说，能够从一个实验的结果直接分析出该因素的值是取大了还是取小了。如果没有这一条件就不能确定舍去哪段，保留哪段，也就无从下手做下一次实验。对于上例，可以根据天平倾斜的方向来判断是砝码重，还是样品重
12、，进而可以判断样品的质量范围，即实验区间。,例7-5 某润滑油加入66 的复合剂后质量符合要求，为了降低成本，在保证润滑油质量的前提下，试选择复合添加剂的最佳加入量。解：实验可使用对分法进行安排。假如当复合添加剂加入量小于18 时，该种润滑油质量即不合格，故实验范围为18 66。在这范围内对分取其中点，即添加剂加入量为42 时做第一次实验，如果质量仍然合格，则含去42 66 这一段，在余下的18 42 中再取中点，即30 做第二次实验，结果如不合格，则舍去18 30 这一段；在30 42 这一段再取中点进行实验，直到找到最佳点为止。参见图7-6。由于对分法每次舍去的将是原来实验范围的一半，因此
13、较之0.618法可以缩短整个实验的总周期。,14,7.1.4 抛物线法,不管是黄金分割法，还是分数法，都是通过比较两个实验结果的好坏，逐步找出最好点。如果实验结果是定量处理的，那么显然实验结果的数值，即目标函数值本身的大小，并没有在优化方案中被考虑利用。,抛物线法是根据已得的三个实验数据，找到这三点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次实验的根据。用抛物线法可使实验进一步深化，对最优点的位置作出更准确的估计。,如图7-7所示，设在x1、x2、x3三点上做实验，其结果分别为y1、y2、y3。通过x-y平面上的三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）作抛物线逼近曲线，抛物线的顶
14、点（x0，y0）就可能近似于实验曲线的最优点。,如果将下次实验安排在抛物线顶点的横坐标x0处，便可得到最佳的实验结果y0，此方法常被称为优选法的“最后一跃”。,用拉格朗日插值法可以可得通过上述三点的抛物线方程为：,16,抛物线的顶点横坐标为,在x=x0处得到实验结果y0后，若需继续实验，则在（x0，y0）和它相近的两点做新的抛物线，以求最优点。此方法最适用于中间高、两头低，或中间低、两头高的二次抛物线情况。,粗略地说，如果穷举法（在每个实验点上都做实验）需要做n次实验，达到同样的效果，黄金分割法只要数量级lgn次就可以达到，抛物线法效果更好些，只要数量级lglgn次。,17,例7-6 在测定某
15、离心泵效率h(%)与流量Q(L/s)之间关系曲线的实验中，已经测得三组数据:Q分别为8,20,32时，h等于50,75,70。如何利用抛物线法尽快地找到最高效率点？,解：首先根据这三组数据，确定抛物线的极值点，即下一实验点的位置。为了表示方便，流量用x表示，效率用y表示，于是,接下来的实验应在流量为24 L/s时进行。实验表明，在该处离心泵效率h78，该效率已经非常理想了，实验一次成功。,18,7.2 双因素优选法双因素优选问题，就是要迅速地找到二元函数zf(x,y)的最大值及其对应的（x,y）点的问题。,假定处理的是单峰问题，也就是把x，y平面作为水平面，实验结果z看成这一点的高度，这样的图
16、形就是一座山。双因素优选法的几何意义是找出该山峰的最高点。,图7-8 双因素优选法的几何意义(单峰),7.2.1 对开法,在直角坐标系中画出一矩形代表优选范围：axb，cyd。在中线x(a+b)/2上用单因素法找最大值，设最大值在P点。在中线y(c+d)/2上用单因素法找最大值，设为Q点。比较P和Q的结果，如果Q大，去掉x(a+b)/2部分，否则去掉另一半。再用同样的方法来处理余下的半个矩形，不断地去其一半，逐步地得到所需要的结果。优选过程如图7-9所示。,需要指出的是，如果P、Q两点的实验结果相等（或无法辨认好坏），说明P和Q点位于同一条等高线上，所以可以将图上的下半块和左半块都去掉，仅留下
17、第一象限。所以当两点实验数据的可分辨性十分接近时，可直接丢掉实验范围的3/4。,例7-7 某化工厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶液萃取出来的。实验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的磺酸最多。根据经验，乙醇水溶液的浓度变化范围为5090（体积百分数），用量变化范围为3070（质量百分数）。解：用对开法优选，先将乙醇用量固定在50，用0.618法，求得A点较好，即浓度为80；而后上下对折，将浓度固定在70，用0.618法优选，结果B点较好，如图7-10（a）。比较A点与B点的实验结果，A点比B点好，于是丢掉下半部分。在剩下的范围内再上下对折，将浓度固定于80，对用量进行优选
18、，结果还是A点最好。于是A点即为所求。即乙醇水溶液浓度为80，用量为50。,7.2.2 旋升法,在直角坐标系中画出一矩形代表优选范围：axb，cyd。先在一条中线，例如x(a+b)/2上，用单因素优选法求得最大值。假定在P1点取得最大值，然后过P1点作水平线，在这条水平线上进行单因素优选，找到最大值，假定在P2处取得最大值，如图7-11（a）所示，这时应去掉通过P1点的直线所分开的不含P2点的部分；又在通过P2的垂线上找最大值，假定在P3处取得最大值，如图7-11（b）所示，此时应去掉P2的上部分，继续做下去，直到找到最佳点。,在这个方法中，每一次单因素优选时，都是将另一因素固定在前一次优选所
19、得最优点的水平上，故也称为“从好点出发法”。,解：先固定温度为65，用单因素优选时间，得最优时间为150 min，其收率为41.6。固定时间为150 min，用单因素优选法优选温度，得最优温度为67，其收率为51.6（去掉小于65 部分）。固定温度为67，对时间进行单因素优选，得最优时间为80 min，其收率为56.9%（去掉l50 min上半部）。再固定时间为80 min，又对温度进行优选，这时温度的优选范围为6575。优选结果还是67。到此实验结束，可以认为最好的工艺条件为温度：67，时间80 min，得率56.9。,例7-8 阿托品是一种抗胆碱药。为了提高产量降低成本，利用优选法选择合适
20、的酯化工艺条件。根据分析，主要影响因素为温度与时间，其实验范围为：温度：5575，时间：30310 min。,先将y固定在范围(c，d)的0.618处，即取y=c+(d-c)0.618,用单因素法找最大值，假定在P点取得这一值。再把y固定在范围(c，d)的0.382处，即取y=c+(d-c)0.382,用单因素法找最大值，假定在Q点取得这值。比较P、Q的结果。如果P好，则去掉Q点下面部分，即去掉yc+(d-c)0.382的部分（否则去掉P点上面的部分），再用同样的方法处理余下的部分，如此继续，如图7-13所示。注意，因素y的取点方法不一定要按0.618法,也可以固定在其他合适的地方。,7.2.
21、3 平行线法两个因素中，一个(例如x)易于调整，另一个(例如y)不易调整，则建议用“平行线法”。,24,7.3 多因素优选法,7.3.1 最陡坡法众所周知，登山时若沿最陡坡攀登，路线将最短。实验指标的变化速度，也可看作是一种“坡度”；最陡坡法，就是要沿实验指标变化最快的方向寻找最优条件。,(1)实验步骤 查找最陡坡利用多因素二水平正交实验，可以获得各因素的极差值。极差的相对大小，反映了因素的水平变化对实验指标的影响程度，也即因素效应的相对大小。因素的效应代表了该方向上指标的变化率，即坡度。调优过程中，应使各因素水平的变动幅度与各自效应的大小成比例，这就是最陡坡。沿最陡坡登山沿着已确定的最陡方向
22、安排一批试点，逐步调优，直至实验指标不再改进为止。检验顶点位置以登山时找到的最优试点为中心，重新安排一组正交实验，检验该处是否已达“山顶”，如果不是，就要找出新的最陡方向，继续登山。,例7-9 某褐铁矿试样，粒度0.13 mm，品位41%(Fe)，可淘汰法分选，要求精矿品位49%50%(Fe)，用最陡坡法寻求最优工艺操作条件。,解：先要查找最陡坡。需考查的因素为：人工床层厚度(A)，mm；筛下水量(B)，m3(m2h）；冲程(C)，mm；试料层厚度(D)，mm。利用2水平正交实验寻找最陡坡。选用正交表L8(27)，安排四个因素。这样的实验设计方案可保证全部主效应均不被混杂，而仅交互作用项相互混
23、杂，因而有利于正确地找到最陡坡。基点（中心点）的实验条件定为:A0=60 mm;B0=7.06 m3(m2h）；C0=7.5 mm;D0=45 mm。步长相邻两实验点间取值的间距。由于基点的水平编码为0，故它同高水平点(+1)和低水平点(-1)的间距均为“半步”。设以S表示步长，各因素的步长定为:SA=30 mm;SB=2.38 m3/(m2h）；SC=3.0 mm;SD=30 mm。于是可将各因素水平的实际取值汇总如表7-3。,实验结果如表7-4所示。实验考察指标为精矿品位,即Fe含量。,表7-4中K=K(+1)-K(-1)，与极差R相似，但不完全相同。K是有正负的。K为负，表示K(+1)D
24、AB(3)(5)(6)。因素C、D、A对结果影响较大，因素B及一些交互作用对结果影响较小可忽略。,27,最陡坡的确定如下。C、D、A三因素主效应的比值为KC：KD：KA=(-9.39):3.39:3.31=(-1):0.36:0.35。要保证C、D、A三因素同步变化，则它们的步长变化幅度就应该按照上述比例进行，即C因素减小1步，D因素和A因素分别增大0.36步和0.35步。现选定冲程C的新步长SC=1 mm，SC：SC1：3，即C的新步长相当于原步长的1/3，那么就可算出：试料层厚度D的新步长为SD=0.36(SC/SC)SD=0.36(1/3)30=3.6 mm。人工床层厚度A的新步长为SA
25、=0.35(SC/SC)SA=0.35(1/3)30=3.5 mm。需要注意的是，因素C的效应为负值，因素D和A的效应为正值，故登山时C取值需减小，而D和A取值需增大。,确定了最陡坡的方向和前进的步长后，就可以沿最陡坡登山了。以原正交实验中的最优实验点2作为登山起点，该点的条件为A(+1)75 mm，B(-1)5.87 m3/(m2h），C(-1)6.0 mm，D(+1)60 mm。新实验9的条件为：A75+3.578.5 mm，C6.0-1.05.0 mm，D60+3.663.6 mm。依次可算出实验10、11的条件。各点的实验条件和结果均已综合列入表7-5。实验结果表明，最优试点为实验10
26、，相应的操作条件为人工床厚A为82 mm，筛下水量B为5.87 m3/(m2h），冲程C为4 mm，试料层厚D为67.2 mm。,表7-5 登山实验条件和结果,(2)应用条件采用最陡坡法要注意其应用条件。目标函数为一单峰函数，即只有一个极大值。在实验范围内响应面接近一斜面，而没有突然的转折点。一般来说，若目标函数对工艺条件的变化很敏感，就可能出现突变点。此时，若采用二水平的正交实验，就不易找到“坡度”。在寻找最陡坡时所选用的两个水平必须落在山坡上，而不是落在山脚外或横跨山岭。只有满足了以上三项条件，才能将实验范围内的响应面方程近似地看作线性方程，并按线性模型寻找最陡坡。,30,7.3.2 单纯
27、形法,(1)单纯形法特点单纯形法(Simplex)又称单纯形优化法,是一种动态寻优方法。它能在交互作用复杂，因素较多的场合使用，对实验有全面优化的效果，克服了单因素优化法无法考虑各因素间的交互影响、准确性低、工作量大的缺点。它能在实验次数较少的情况下，快速地找出最佳条件组合。单纯形法的优点是，计算比较简单，不论因素多少，除了第一步需安排n+1个实验点以外，以后每一步只需安排一个新实验点，且可随时调整最优方向，因而调优速度很快。如果需要中途引进新的变数，也非常方便。也就是说，不论实验进展到哪里，只要多加一个实验点，就可多考查一个因素。不象正交实验，每增加一个因素，实验点数将增加很多。单纯形法的实
28、验点数很少，但因为是序贯实验，所以实验批次很多。单纯形法每一步的实验安排都要依赖上一步的实验结果，不象最陡坡法那样一次可以安排好几步实验，因而时间上不一定节省。,31,(2)基本单纯形法单纯形是指多维空间中的一种凸图形，它的顶点数仅比空间的维数多1。二维空间的单纯形是三角形；三维空间的单纯形是四面体，每个面是一个三角形；n维空间的单纯形则是由n+1个顶点构成的超多面体。空间多面体各顶点就是实验点。比较各实验点的结果，去掉最坏的实验点，取其对称点作为新的实验点，该点称为“反射点”。新实验点与剩下的几个实验点又构成新的单纯形。新单纯形向最佳目标点不断靠近，最后找出最优目标点。,32,下面结合图示进
29、一步说明单纯形法优化过程,33,单纯形调优过程如下：确定考核指标确定的考核指标，应是数量化的，可精确测定的。选择因素与步长因素应是体系中的独立变量。主要因素首先排入。步长取值大，优化速度快，但精密度差。步长取值小，精密度好，但调优速度慢。建立初始单纯形,a.计算法 首先确定单纯形的初始顶点(实验点)，再由初始顶点出发计算单纯形的其它顶点(实验点)。设单纯形的初始顶点为A=(x1,x2,xn),其中x1,x2,xn分别代表1,2,n个因素的取值。若步长为a，则单纯形其它各顶点的值分别为：B=(x1+p,x2+q,x3+q,xn+q)C=(x1+q,x2+p,x3+q,xn+q)(n)=(x1+q
30、,x2+q,xn-1+p,xn+q)(n+1)=(x1+q,x2+q,x3+q,xn+p),b.朗系数法1969年，D.E.Long提出了一种利用系数k 计算初始单纯形各顶点的方法。其方法是，先确定一个初始顶点，再用系数k乘以该因素的步长a，将所得的值加到初始点该因素的取值上，即得到单纯形另一个顶点该因素的取值。,35,表7-6 Long系数表,c.均匀设计表法均匀设计表可容纳的因素与水平数较多，实验点在整个优化区间分布均匀，用均匀设计表来构造初始单纯形，不需要进行任何计算，方法简便。根据所研究的因素数，选择合适的均匀设计表，按照均匀设计表及其使用表的要求，将因素水平对号入座，即可获得初始单纯
31、形每个顶点的各个因素的取值。单纯形法中初始点的计算比较麻烦，特别是多因素且步长各不相同，因此实际应用中常采用Long系数法和均匀设计表法选取初始点，而均匀设计表构造的初始单纯形各顶点在空间均匀分布，在此基础上优化是整体的均匀优化，因此被广泛采用。,37,确定新实验点,初始单纯形建立之后，按照（n+1）顶点的实验条件，进行实验，比较（n+1）顶点测定结果，找出最差点j即为去掉的点。使单纯形向前推进。新实验点（即n+2）的计算方法为新实验点(单纯形各实验点)-最差点j 在单纯形推进过程中，有时出现新实验点的响应值为最差的情况，如果取其反射点，就又回到前面的单纯形，这样就出现单纯形来回“摆动”，无法
32、继续向前推进。在此情况下，应以去掉单纯形中次差点代替去掉的最差点（即保留最差点，去掉次差点），使单纯形继续推进。,38,单纯形的收敛性 在单纯形优化过程中，应经常考查实验结果（或称响应值）是否达到要求，这在数理统计中称为收敛性检验。根据数理统计，单纯形的收敛准则为,式中R(B)和R(W)分别表示单纯形中最好点和最差点的响应值；为收敛系数。当上式成立时，单纯形就停止推进，即单纯形达到收敛点，此时单纯形中最好点就是所要寻找的最佳条件。,(3)改进单纯形调优法,改进单纯形法是在基本单纯形的基础上，采用可变步长推移单纯形，既能加快优化速度，又能获得较好的优化精度。它是在基本单纯形法的基础上引入了反射、
33、扩大、收缩与整体收缩规则，变固定步长为可变步长，较好地解决了优化速度与优化精度之间的矛盾，是各种单纯形优化法中应用最广泛的一种单纯形优化方法。,基本单纯形利用对称原理，把去掉的最差点作等距离反射求出新的实验点，经过多次反射后，找出最优化条件。但是，如果步长固定，优化幅度不能根据结果效应的大小进行灵活调整，就会出现优化速度和优化精度之间的矛盾。为此，1965年J.A.Nelder等提出来了改进单纯形法。,40,改进单纯形新实验点的计算方法为：,新实验点(单纯形各实验点)-最差点j 式中B为单纯形推进系数，n为优化的因素数。,B的取值有以下几种可能性：若B1，新实验点即为反射点，按基本单纯形推进。
34、如果反射点在新的单纯形中是最好的点，说明反射方向正确，可以沿ad方向进一步搜索，此时B的取值大于1。如B2，称为扩大，如果扩大到e，e点的结果好于d点，则“扩大”成功，用e点代替d点，构成bce单纯形。反之，e点的结果不如d点，则“扩大”失败，仍采用d点，构成bcd单纯形进行比较。如果d点在新的单纯形中是最坏点，但比a点好，这时取B1（在0B1，取B0.5）称为“收缩”，为f点，它与留下的点构成新的单纯形bcf。如果d点的结果比a点还差，这时采用“内收缩”的方法，此时B0（如取B-0.5），得g点，构成新的单纯形bcg。,下面结合图示进一步说明单纯形法优化过程,两因素实验，在二维空间中单纯形为
35、三角型，就是说须确立三个实验点来完成初始单纯形的建立。图(a)中三角型为初始单纯形，PA、PB、PC为实验者最初确定的实验点。假设由实验结果得出PA点收率最高，PC点最低。接下去的做法是去掉PC点，将PB和PA的中点PE与点PC连接并延长至PD，使PEPC=PEPD，PD即是新的实验点，PD所对应的条件即为新的实验条件。PD、PB和PA三点又构成了一个新的单纯形，这样就实现了单纯形的推移，随之实验条件也不断改变，直到收率满意为止。这里PD点为PC关于PE的反射点。,43,对于n个因素的单纯形在求PD点时应遵循如下规则：,先求n点的质量重心PE。设P1、P2、P3Pn、Pn+l为维数为n的单纯形
36、各顶点坐标，用列向量表示，舍掉最坏点PC后，剩余n个点的质量重心PE可用下式计算：,PE=求最坏点PC关于PE的反射点PD。PD=2PE-PC,分析实验结果a.若YCYDYA，即反射点PD的实验结果YD介于最好值YA和最差YC之间，说明反射方向正确，PD与PB、PA三点构成新的单纯形，做正常推移。,b.若不但YDYC，而且YDYA，即新实验点PD所得结果比最好点PA的实验结果还好，说明反射方向正确,为了减少实验次数，可做“扩张”处理，参见图1(c)。扩张点PW可用式表示。扩张处理后，PW与PB、PA三点构成新的单纯形，继续按上法推移。PW=(1+)PE-PC 式中，为扩张系数，一般取=1.61
37、8。,c.若虽然YDYC，但是YDYB，即新实验点PD尽管比原实验点Pc好，但在新单纯形PAPBPD中仍然是最差点，若进行反射将回复到原实验点，此时新实验点PD可用式做“收缩”处理。收缩处理后，PD与PB、PA三点构成新的单纯形，再做推移处理。PD=(1+)PE-PC 式中，为收缩系数，一般取=0.618。,d.若YDYC，即反射点PD的实验结果YD小于最差点PC的实验结果YC，说明反射方向错误，则可用次坏点PB进行反射操作。,7.3.3 最陡坡法和单纯形法的比较最陡坡法在利用二水平正交实验找到最陡坡后一直沿既定方向前进，直至目标函数不再改进为止，然后才重新安排第二批正交实验进行检查。单纯形法的实验是从单纯形的n+1个顶点开始，每一个顶点做完实验后就可以比较目标函数的大小，一般去掉结果最差的顶点而代之以此顶点相对称的点。这个新的对称点与去掉最差点后留下的n个顶点又形成一个新的单纯形。再比较这新单纯形上n+1个顶点的实验结果，如此继续下去，逐步逼近目标函数的最优值。,(a)最陡坡法,(b)单纯形法,
