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1、2.4 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,例如,注1:,无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2、性质,性质1,有限个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量；,性质2,无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；,例,解,3、比较,由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当x1时f(x)=x-1、g(x)=x2-1、h(x)=(x-1)2都是无穷小量，但,可以看出，两个无穷小量的商可能极限不存在，极限存在时可能等于零也可能不为零。,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,为方便，引入以下定义。,定义,A=0则称是比高阶的无穷小量，记为=o();,A
2、0则称与是同阶的无穷小量，记为=O()；特别,地当A=1时称与等价，记作。,例如x1时，(x-1)2=o(x-1)，x2-1=O(x-1)。,练习 x0时，,高,同,高,注 只有都是无穷小量时才能分阶；,比较时一定要说明在哪一种变化趋势下；,并非任意两个无穷小量都可以分阶；,阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度。,高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。,在无穷小量的比较中，无穷小量的等价最为重要，首先，无穷小量的等价满足反身性、对称性、传递性。而无穷小量的等价的应用主要反映在下面的定理：,定理,此定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化极限的
3、计算。注 应用时注意自变量的变化趋势；只有在乘积时才能代换，加减时不可以；加减时有时可分成两个极限计算，但分开后每个极限都要得出具体数值，不能再合并。,例,解,练习,答案,备忘 x0时常用的等价无穷小量有,这里把3x当成一个整体，当x-时它是无穷小量,例,在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证代换的那一部分(有时是自变量的表达式)必须是无穷小量。,解,练习,答案,计算极限,答 案,二、无穷大量,极限不存在包括两种情况：跳跃型(振荡型)和无限增大型。第二种极限称为无穷大，也就是说，若在自变量的某一变化趋势下，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为无穷大量。其精确定义如下：,则称x
4、x0时f(x)为无穷大量，记作,定义,对x的其他变化趋势可类似定义。,注 无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而不是一个很大的常量.当(x)取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负无穷大量)，记为 limf(x)=或limf(x)=式子limf(x)=只是一个记号，实际上f(x)的极限仍是不存在。说一个量是无穷大量是要指明自变量的变化趋势。无穷大量和无穷小量的关系由下面的定理确定：定理 在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量。因此，有关无穷大量的计算和分析证明可转化为对无穷小量的讨论。,例,解,由此对于0/0形式的有理分式的极限，利用消零法总可以得出结果：对分子、分母分解因式，约去公因式直到代入时分子、分母至少一个不为零为止。若分子、分母都不为零，则得出非零极限值；若分子为零(分母不为零)，则函数为无穷小量；若分母为零(分子不为零)，则函数为无穷大量。,用A 表示有极限的函数，K 表示有界函数，C 代表常数，总结出无穷小量和无穷大量的一些运算规律，大家看一看，有没有参考价值？,
