现代控制理论-稳定性.ppt

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1、现代控制理论,Modern Control Theory,第三章 控制系统的李亚普诺夫稳定性,3.1 李亚普诺夫第二法概述3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性3.3 李亚普诺夫稳定性定理3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,3.1 李亚普诺夫第二法的概述,一、物理基础 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常叫做稳定性，它是系统的一个动态属性。,举例说明：1.电压自动调节系统-保持电机电压恒定 2.电机自动调速系统-保持电机转速一定 3.火箭飞行系统-保持航

2、向为一定 具有稳定性的系统称为稳定系统。不具有稳定性的系统称为不稳定系统。,稳定性概念,系统的稳定性-系统在受到外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示就是：,现代控制理论的优点,线性定常系统稳定性判断 1.劳斯-赫尔维茨判剧 2.奈奎斯特稳定判剧现代控制系统结构复杂，非线性或时变,上述稳定判剧难以胜任;通用的方法是李亚普诺夫第二法.,李亚普诺夫稳定性判据,1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法 李亚普诺夫第一法:解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的.李亚普诺夫第二法（也称直接法

3、）:不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。,李亚普诺夫第二法建立的物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。,对系统而言，并没有这样的直观性，因此，李亚普诺夫引入了“广义能量函数”，称之为李亚普诺夫函数，表示为,它是状态 和时间t的函数。如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数 对任意（平衡点）时，成立，且对 时，才有。,李亚普诺夫第二法可归结为:1.在不直接求解的前提下，2.通过李亚普

4、诺夫函数 的符号 3.及其对时间的一次导数 的符号 就可给出系统平衡状态稳定性的信息。应用李亚普诺夫稳定理论的关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数!-尚未有一个简便的、一般性的方法！,*由于系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定理论的研究和应用受到人们的重视；*特别是在从典型的数学函数及非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。*李亚普诺夫函数 是对前述的不具有直观性的物理事实的表现，这个“广义能量”概念与能量概念又不完全相同。李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型 二次型及其定号性，是该理论的数学基础。,二、数学基础(二次型及其定号性)1二次型 n个变量

5、的二次齐次多项式:称为二次型。式中，是二次型的系数。设，既对称且均为实数。,用矩阵表示二次型较为方便，即 必须指出，二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，也就是V(X)在坐标原点附近的特性。,定号性,(1)正定性 当且仅当 X=0 时，才有V(X)=0；对任意非零X，恒有V(X)0，则V(X)为正定。(2)负定性 当且仅当X0时才有V(X)0；对任意非零X，恒有V(X)0，则V(X)为负定。(3)正半定性与负半定性 如果对任意X0，恒有V(X)0，则V(X)为正半定。如果对任意X0，恒有V(X)0，则V(X)为负半定。(4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可

6、 为负值则V(X)为不定。,赛尔维斯特准则,二次型 或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正，即 如果 则P为正定，即V(X)正定。二次型 或对称阵P为负定的充要条件是：P的主子行列式满足(为奇数)；(为偶数)=1,2,。返回,3.2李亚普诺夫意义下的稳定性,研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况。一般说来，系统可描述为 式中 X为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足(3.1)时，称 为系统的平衡状态。凡满足式(3.1)的一切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系统，A为非奇异时,X=0是其唯一的平衡状态，如果A是奇异的则式(3.1)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态。

7、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。,由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 对同一问题用不同理论去研究会得到不同含义的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫稳定性理论则认为是稳定的。,因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。系统的状态方程为 设 且系统的平衡状态为。有扰 动使系统在 时

8、的状态为，产生初始偏差，则 后系统的运动状态从 开始随时间发生变化。由数学中数的概念知道，表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 为中心的闭球域S()里，其中 称为范数，分别为 与 的分量。,同样 表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 为中心的闭球域:S()里。式中范数 为X的分量。,下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。,1稳定与一致稳定 设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态。如果对球域S()或任意正实数 0，都可找到另一个正实数 或球域 S()，当初始状态 满足 时，对由此出发的X 的运动轨迹有，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态

9、为一致稳定。,2渐近稳定和一致渐近稳定 设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态，如果 是稳定的，且从充分靠近 的任一初始状态 出发的运动轨迹 有 或 即收敛于平衡状态，则称平衡状态 为渐近稳定。如果 与初始时刻 无关，则称平衡状态 为一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。,如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即 对所有点都成立，称平衡状态 为大范围渐近稳定。可见，这样的系统只能有一个平衡状态。由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。,在控制工程中确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的，因为渐近稳定性是个局部

10、概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。古典控制理论的稳定性概念，只牵涉到小的扰动，没有涉及大范围扰动的问题，因此它是有局限性的。,3不稳定 如果平衡状态 既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当 并无限增大时，从 出发的运动轨迹最终超越 域，则称平衡状态 为不稳定的。返回,3.3 李亚普诺夫稳定性定理,定理3.1 设系统的状态方程为式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件：是正定的；是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 有，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。,例3.1 设系统方程为,试确定其

11、平衡状态的稳定性。,解:很明显，原点 是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数 为则将系统方程代人上式得（V(X)为正定）又由于 时，因此系统在平衡点(0，0)是大范围渐近稳定的。,定理3.2 设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数，它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的；对任意 和任意 在 时不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有 时，则为大范围渐近稳定。式中 表示 时从 出发的解轨迹。,由于 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面 相切。然而,由于 对于任意 和任意 在 时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(

12、在切点上），而必须运动到原点.,例3.2 设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。解:显然，原点(0，0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数，即（V(X)为正定）当 时，因此 是负半定的。,下面我们进一步分析 的定号性，即当 时，是否恒等于零。由于 恒等于零，必需要求 在 时恒等于零，而 恒等于零又必需要求 恒等于零。但从状态方程 来看，在 时，要使 和，必需满足 等于零的条件。这表明 只可能在原点 处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于 时,有，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,若在例中选取如下正定函数为李氏函数，即 则 是负定的。而且当

13、时，有 所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由以上分析看出，选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对 判别的必要性。,定理3.3 设系统方程为式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定的；是负半定的，但在某一X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。,例3.3 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解 显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即 则 由上式可见，在任意 X值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定

14、的但不是渐近稳定的。,定理3.4 设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：在原点的某一领域内是正定的；在同样的领域内是正定的；则在原点处的平衡状态是不稳定的。,例3.4 设时变系统的状态方程为 显然坐标原点 为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。,解 可以找一个函数 为显然，为一标量函数，在 平面上的第一、三象限内，有 是正定的。在此区域内取 的全导数得所以当 时，因此根据定理4可知，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。返回,3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析,由李亚普诺夫稳定理论可知，在寻求 函数时，要使 和 具有定号性，两

15、者的符号相反，表示稳定；两者的符号相同，表示不稳定；或者希望 或 中至少有一个是定号的，才能对稳定性进行判断。因此在构造 函数时，或者先试构造出 是正定的，然后考察 的符号；或者先给出 是负定的，然后确定 是否为正定；或者使 为正定，从系统稳定性要求出发，推导出对于系统的限制。由上一节例题可见，对于某些简单系统，特别是线性系统或近似线性系统，通常可取 为X 的二次型。,一、线性定常系统的稳定性分析 设线性定常系统为(3.2)式中，为 维状态向量，是 X 常系数矩阵，假设 是非奇异矩阵。因为判定系统的稳定性，主要取决自由响应，所以令控制作用=0，由系统状态方程知，系统唯一的平衡状态是原点。对于式

16、(3.2)确定的系统，选取如下形式的正定无限大 函数，即式中，P是一个正定的赫米特矩阵(即复空间内的二次型，如果X是一个实向量则可取正定的实对称矩阵)。沿轨迹的导数为,对于系统在大范围内渐近稳定性来说，要求 是负定的，因此必须有为负定。式中(3.3)由上式可知，在已知P是正定的条件下，找到满足式(3.3)的一个赫米特矩阵(或实对称短阵)Q是正定的，则由式(3.2)描述的系统在原点处的平衡状态，必是大范围内渐近稳定的。这样得到如下定理。,定理3.5 设系统状态方程为式中，是 维状态向量，是 常系数矩阵，且是非奇异的。若给定一个正定的赫米特矩阵(包括实对称矩阵)Q，存在一个正定的赫米特矩阵(或实对

17、称矩阵)P，使得满足如下矩阵方程 则系统在X0处的平衡状态是大范围内渐近稳定的，而标量函数 就是系统的李亚普诺夫函数。对该定理需要说明如下几点。,如果 沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q可取做半正定矩阵。该定理阐述的条件，是充分且必要的。因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终的判断结果将和Q的不同形式选择无关，所以通常取QI(单位阵)较为方便。这样线性系统 平衡状态X0为渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对称矩阵P，满足矩阵方程 将上述定理同从 的特征值分布来分析系统稳定性联系起来看，它实际上就是 中矩阵 的特征值均具有负实部的充要条件。,可以证明，要求特征值均具有小于某一数值的负实部，即 的

18、充要条件(即考虑衰减程度)是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在正定对称阵P，它为矩阵方程 的解。,证明 用上述定理考察系统，若特征值均具有负实部(充要条件是对任意正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足)，对系统作平移变换,将 代替上式中的A，则有即:,例3.5 设系统的状态方程为 显然，坐标原点是系统的一个平衡状态,试确定系统在该平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统的李亚普诺夫函数。,解 设系统的李亚普诺夫函数为式中P由下式决定取Q=I，得展开得解上式得,式中，叫作系统方程中矩阵A的迹(代表矩阵A的主对角线上的各元素之和）。是系统矩阵A的行列式。显然，要使矩阵P是正定的，必须使于是可得若满

19、足此不等式，必须有,由，可得，即故上述系统在原点处是渐近稳定的充要条件为因为系统是线性的，所以在原点处若是渐近稳定的，也是大范围内渐近稳定的。,例3.6 控制系统方块图如图3.3所示。要求系统渐近稳定，试确定增益K的取值范围。,解 由3.3可写出系统的状态方程为,若输入r为零，则系统的状态方程为或写成,不难看出，原点为系统的平衡状态(因为在原点处)选取Q为正半定实对称矩阵，则(3.4),由 为负半定的，因为 时，但当，而 时，也有 但由于 只在原点处才恒等于零，这是因为若设 除原点外在某X值情况下也恒为零，则要求 恒为零。但要求 恒为零，就必须要求 也恒为零。由方程可看出，如果 则 也必为零。如果X恒为零，其中 及 已经恒为零，则 也必恒为零。因此 恒为零的情况只有在原点(即)处才成立。可见选择式(3.4)所示矩阵作为Q是可行的，益处是可使数学运算得到简化。,设P为实对称矩阵，且有如下形式由即求得,为使矩阵P为正定，其充分且必要条件由赛尔维斯特准则得到 从而求得 故在0K6范围内取K值，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。,结束,