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1、做怎样的课例？,初中数学举隅,顾泠沅上海市教育科学研究院,1.学生该做的做了没有,“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”（礼记学记）最有效的学习方法应是让学生在体验和创造的过程中学习,有理数减法：（+2）-（-3）=+5（-2）-（+3）=-5（-2）-（-5）=+3,例：有理数加减法,正数与负数相加：（+5）+（-3）=+2（-5）+（+3）=-2,（-3）+（+5）=+2,“学而时习之，不亦说乎”,边讲边问没有摆脱全面灌输：,一年后重新设计：,105次填空式问答（由低到高设计），记忆问题占74.3%，简单推理占21.0%，小步、多练、快进，未留思考空间给学生。教师：“讲是给学生知识，问是看他们收
2、到没有”。,弄清图形之间关系，学生思维水平提升，变繁琐为简单。学生：“原来那么多性质不需要死记硬背”。,2.从提问走向对话,例：正方形的定义和性质,（1）旧知中引发冲突,师：如何对x61分解因式？学生板演的两种解法：x61=(x3)2-1=(x3+1)(x3-1)=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)x61=(x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1)=(x+1)(x-1)(x4+x2+1)问题：同一题目，两种方法做怎么答案不一样呢？,3.没有兴趣就没有学习,例：拆添项法分解因式,（2）在演算中蕴含新知,师：看看(x4+x2+1)是否与(x2-x+1)(x2+x+1)相等呢？
3、学生的验算：(x2-x+1)(x2+x+1)=(x2+1)-x(x2+1)+x=(x2+1)2-x2=x4+2x2+1-x2=x4+x2+1师：由上面的验算可知，(x4+x2+1)确实能分解成(x2-x+1)(x2+x+1)。请同学们试试看，谁能最快发现新的分解方法？,生4：x4+x2+1=x4+2x2+1-x2师：你为什么把 x2 拆成 2x2 与-x2 两项呢？生4：因为这样一拆，前面三项正好是完全平方，可以用分组分解继续分解下去。让学生通过逆向思维，亲自发现因式分解的新方法，虽有一定难度，但又是大多数学生经过“跳一跳”能够做到的。而且，拆添项分解因式的这一方法与学生后面学习二元一次方程解
4、法时的“配方法”过程直接相关，为后续学习打下基础。,（3）发现拆添项分解因式法,（1）情境问题引发兴趣,如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？,学生的三种“补出”方法：,只剩一个底角和一条底边,量出C度数，画出BC，B与C的边相交得到顶点A,作BC边上的中垂线，与C的一边相交得到顶点A,画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明,“对折”,4.变式练习有多种功能,例：等腰三角形的判定,（2）多种证法激活创造力,三种常规的办法：,两种创造性的证法：,作A的平分线，利用“角角边”,过A作BC边的垂线，利用“角角边”,作BC边上的中线，“边边角”不能证明,假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾,A
5、BCACB，应用“角边角”,（3）变式练习分步解决问题,不断变换题目的条件：,ABC中，ABCACB，BO平分B，CO平分C。能得出什么结论？,过O作直线EFBC。图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题),若B与C不相等。图中有没有等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论),直观看到一个，简单应用判定定理,必须综合应用判定定理和性质定理论证两个红色三角形以及线段间的关系,直观看到三个，两个红色三角形必须应用判定定理论证；线段关系用到性质定理。,5.探究需要脚手架,（1）选题背景,勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年
6、代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。,a2+b2=c2,例：勾股定理,（2）回顾原教学行为,欧几里德方法(等积变形推导)技巧难度太高,设置动手情境,“量一量、算一算”得不出a2+b2=c2,“剪一剪、拼一拼”学生不会剪拼,提供勾股数组:32+42=52 62+82=102,简化为铺地砖:,特殊情境成了直接暗示,无异于告诉事实,（3）情境铺垫出猜想,问题:直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系?a、bca+b（已有知识）两边平方怎么
7、样?a2、b2c2 铺垫:在方格纸内斜放一个正方形ABCD，每个小方格的边长为单位1，怎样计算正方形ABCD的面积？,(a+b)2a2+2ab+b2,数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的a2、b2、2ab及c2的值，并填表。,学生的发现出乎意料：c2=2ab+1 a2+b2=c2a+b+a2=b2 2ab+c2=(a+b)2等!,(4)反驳与证明的师生对话,生1 根据数据表,我得出c2=2ab+1的结论。师 很惊讶怎么会,不可能吧?生2 我做过a=2,b=4的例子,这时2ab=16,c2=20,c22ab+1。师 生2用举例来“反驳”,有说服力,c2=2ab+1这一结论不能成立。生3
8、老师,当a与b相差1的时候,这个结论还是成立的。师 心中想 c2=(a-b)2+2ab,b-a=1时,c2=2ab+1这个意见也是对的,这是一个有条件的结论。好,下面我们来看看另外一个结论a2+b2=c2。生4 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的,但是我想,即使100个例子都正确,101个例子不成立了呢?所有例子都成立才是定理,只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。师 a2+b2=c2是否是个定理,举例再多也说明不了,怎么办?生众 看来必须证明。,（5）拆除铺垫引导论证,把图中的小方格背景撤去，并且隐去a、b的具体数值，在一般的直角三角形中，a2+b2=c2是否同样成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。,
