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1、1、(2013四川绵阳)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DHAB于点H，且DH与AC交于G，求GH的长.,解：,四边形ABCD是菱形,ACBD,AO=4cm,BO=3cm.,GAH=BAO,AHG=AOB=90,GAHBAO,2（2013山东菏泽）如图所示，在ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，求 EP+BP的长.,解：,延长BQ交EF于点G,G,1,2,E、F分别是AB、AC的中点,EGBC,2=G,CQBEQG,EG=2BC=12,1,2,1=2,2=G,1=G,PB
2、=PG,EP+BP=EP+PG=EG=12,3.（2013四川巴中10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长,证明:(1),四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADBC,B+C=180,4=3,1=B,1+2=180,2=C,ADFDEC,8,8,6,4,ADFDEC,DE=12,解：（2）,4(2013泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90，E为AB的中点，（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若AD=4
3、，AB=6，求 的值,证明:(1),1,2,1=2,ADC=ACB=90,ADCACB,AC2=ABAD,1,2,（2）求证：CEAD,3,ACB=90,E是AB中点,CE=AE=EB,2=3,1=2,1=3,CEAD,解(3),4,6,3,CEAD,CFEAFD,AD=4,CE=AB=3,5、(2009年安徽)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DME=A=B=，且DM交AC于F，ME交BC于G(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结FG，如果=45，AB=4，AF=3，求FG的长,EMFEAMDMGDBMAFMBMG,解:(1),3,45,1,A=B=1=45,
4、ACB=90,AC=BC,AB=,AB=BC=4,AF=3,CF=1,M为线段AB的中点,AFMBMG,解：（2）,证明:(1),1,2,3,4,ACB=90，CDAB,2+4=4+A=90,2=A,E是AC的中点,1=3,DE=AE,3=A,1,2,3,4,1=2,F=F,FDBFCD,(2)GDEF,5,6,E是AC的中点,CD AB,GD=GC,5+6=90,2=5,1=2,1+6=90,GDEF,7、(2013四川南充8分)如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=7，B=60，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作APE=B，PE交CD于E.（1）求证：APBPEC；
5、（2）若CE=3，求BP的长.,证明：(1),1,2,3,四边形ABCD是等腰梯形B=3=C，AB=CD,2+3=1+B,1=2,APBPEC,1,3,2,3,3,x,7-x,？,F,G,解：(2),作AFAC于F，DGBC于G,四边形AFGD是矩形,AF=DG,FG=AD=3,AB=CD,B=60,ABFDCG(HL),BF=CG=2,APBPEC,BP2-7BP+12=0,BP=3或BP=4,8、(2013湖南株洲)已知在ABC中,ABC=90,AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线(如图2)于点P.当点P在线段AB上时，求
6、证：AQPABC；当PQB为等腰三角形时，求AP的长.,图1,图2,证明：(1),ABC=90,PQAC,APQ=ABC,A=A,AQPABC,解:(2),图1,连接CP,如图1，当PQB为等腰三角形时,QPB90,QPB只能为顶角，PQ=PB,PQAC,ABC=90,CP=CP,PQCPBC,CQ=CB=4,AQ=AC-CQ=1,AQPABC,图1,图2,如图2，当P在AB延长线上时,QPB90,当PQB为等腰三角形时,BP=BQ,1,2,1=P,P+A=1+2=90,2=A,AB=BQ=BP,AP=2AB=6,9、(2013四川宜宾10分)如图1，在RtABC中，BAC=90，ADBC于点
7、D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E(1)求证：ABFCOE；(2)当O为AC边中点，=2 时，如图2，求 的值；(3)当O为AC边中点，=n 时，如图2，请直接写出 的值,图1,图2,图1,证明：,(1),1,2,3,4,BAC=90，ADBC,BOOE,2+3=3+1=90,C+ABD=ABD+4=90,2=1,4=C,ABFCOE,(2)作OGAC，交AD的延长线于G,G,AC=2AB，O是AC边的中点,AB=OC=OA,由(1)知ABFCOE,ABFCOE,BF=OE,G,BAD+DAC=90 BAD+ABD=90,DAC=ABD,又BAC=AOG=90
8、，AB=OA,ABCOAG,OG=AC=2AB,OGOA,BAC=90,ABOG,ABFGOF,10、(2013年福建莆田8分)定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2 BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点；如图2，ABC中，ABACl，A36，BD平分ABC交AC于点D（5分）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（3分）求出线段AD的长,图1,图2,证明：,1,2,A=36,AB=AC=1,ABC=C=,BD平分ABC,3,1=2=A=36,3=1+A=72=C,AD=BD=BC,C=C,BCDACB,即BC2ACCD,AD2ACCD,点D是线段AC的黄金分割点,AD2ACCD,AC=
9、1,AD2=AC(AC-AD),AD2=1-AD,11、(2013年广东珠海9分)如图，在RtABC中，C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P),当AP旋转至APAB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PEAC于点E.(1)求证：CBP=ABP；(2)求证：AE=CP；(3)当，BP=5 时，求线段AB的长.,证明(1):,1,2,3,4,5,BC PE,4=5=PPA,1=3,3+5=2+PPA=90,2=3,1=2,1,2,3,4,5,证明(2):,F,作PFAB与F,7,8,6,6=7,AP=AP,AFPPEA,PF=AE,PCBC，PFAB,1
10、=2,PF=PC,AE=CP,解(3):,BC PE,BCPPPE,设PE=2x,CP=AE=3x,AP=AP=5x,1,2,3,4,5,F,7,8,6,多条线段具有某一关系，用一个字母表示其中的一条线段，其余的线段就可用这个字母的代数式表示出来。,总结与体会：,12、(2013泸州)如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10 cm，且tanEFC=，求该矩形的周长。,1,2,3,解：,四边形ABCD是矩形,B=C=D=90,ADE与AFE关于 AE轴对称,D=AFD,AF=AD=BC,1+2=2+3=90,1=3,1,2,3,
11、BF=3x,AB=4 x,BC=5x,FC=BC-BF=2x,AF2+EF2=AE2,该矩形的周长为：,13、(2013湖北鄂州)如图，RtABC中，BAC=90，ADBC于点D，若BDCD=32，求 tanB的值。,ADBC，BAC=90，,解：,B+BAD=90，BAD+DAC=90，B=DAC,BDA=ADC=90,BDAADC,BDCD=32,设BD=3x,CD=2x,AD2=6x2,14、如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是边AB上一点，且tanBCD=.（1）试求sinB的值；（2）试求BCD的面积.,解:(1),作AEBC交BC于E,E,AB=AC=5,BC=8,BE
12、=CE=4,F,(2)作DFBC于F,设DF=x,则 CF=2x,BF=8-2x,AEBC,DFBC,DFAE,BFDBEA,设DF=x,则 CF=2x,BF=8-2x,15、(2013四川南充)如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC，AE=1，连接BE，求 tan E的值。,F,M,N,作EFBA交BA的延长线于F,解：,正方形ABCD的边长为2,AE=1,AEAC,AMEF,BAMBFE,F,M,N,AMNCBN,AC=4,AN+NC=4,16、如图ABC中，D是BC中点，AD=AC,DEBC,垂足为D，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.求证：ABCFCD。若SFCD=
13、5,BC=10,求DE的长。,1,2,证明：,DB=DC,EDBC,BE=ECB=2,又AD=AC,ACB=1,ABCFCD,作AGBC于G,G,ABCFCD,S ABC=20,AG=4,DG=CG=2.5,又EDBC,AGBC EDAG,BDEBGA,17、(2011资阳)如图1，在梯形ABCD中，已知ADBC，B=90，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EFDE，交直线AB于点F(1)若点F与B重合，求CE的长；(3分)(2)若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；(4分)(3)设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式(直接写出结果即可)(2分
14、),图1,图2（备用图）,解：（1）,当F与B重合时，四边形AFEB是矩形,CE=BC-BE=BC-AD=3,(2),作DGBC于G,四边形ABGD是矩形,B=1=900,1,2,3,4,3+4=90,DEEF,2+3=90,2=4,DGEEBF,设BF=m,则AF=CE=7-m,EG=4-m BE=5+m,AB=DG=7,m1=2,m2=-10(不合题意，舍去）,CE=5,DGEEBF,18、（2012安徽）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分EDF;（3）
15、连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.,（图1）,（图2）,解：(1),D、C、F分别是 ABC三边中点,BDG与四边形ACDG周长相等,BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,BG=AC+AG,又BG+AG+AC=b+c,(2),D、C、F分别是 ABC三边中点,DF+BF=BG=BF+FG,DF=FG,DEAB,1,2,3,1=3,DEAB,2=3,1=2,DG平分EDF,(3),BDG与DFG,1=B,1=3,3=B,BD=DC=DG,BGCG,19、如图，RtABC中，C=90，AB=2 点P为BC上一动点，PDAB,PD交AC于点D,连结AP(1)求AC、BC的长
16、(2)设PC的长为x,ADP的面积为y,当x为 何值时，y最大？并求出最大值。,解：C=90,AC=2,PDAB,tanB=tanDPC,20、(2010资阳)如图，在直角梯形ABCD中，已知ADBC，AB=3，AD=1，BC=6，A=B=90.设动点P、Q、R在梯形的边上，始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形，且PQR的一边与梯形ABCD的两底平行.(9分)当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的PQR(不必说明画法)；(2)当点P在BC边或CD边上时，求BP的长.,解：,（1）如图所示,（2）如图，当点P在BC上时,作QEBC于E,DFBC于F,E,F,3,x,x,x,x,6-2x,
17、四边形ABPD、BEQR是矩形 QEDF,PQR是等腰直角三角形,设BF=EF=QE=PB=x 则DF=AB=3,CE=2x,CEQCFD,（2）如图，当点P在DC上时,H,连结BP，作DHBC于H,PQR是等腰直角三角形,四边形PQBR是正方形 PRDH,设BR=PQ=PQ=BQ=m 则CR=6-m,DH=AB=3,BH=AD=1,CRPCHD,21、(2012四川巴中12分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，tanACB=,点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且CEF=ACB.求AC的长
18、和点D的坐标；说明AEF与DCE相似；当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。,解：,四边形ABCO是矩形,AB=OC=16,B=90,点D与点A关于y轴对称,OD=OA=BC=12,D(12,0),OA=OD,OCAD,BCAD,解：,CA=CD,4=3=2=1,又1+6=4+5,5=6,AEFDCE,解：,当EFC为等腰三角形时,有CE=CF、CE=EF、FC=FE三种可能情况,EFC为等腰三角形,当CE=CF时，1=CFE,1=CFE=2=3,这与CFE3矛盾,CE=CF不成立,当CE=EF时，AEFDCE,AE=CD=20,OE=AE-OA=20-12=8,E(8,0),当EF=CF时，
19、ECF=1=3,CE=AE=OE+OA,OE2+162=(12+OE)2,又OE2+OC2=CE2,满足条件的点E的坐标为：E(8,0)、E(,0),22、（2012四川宜宾）如图，在ABC中，已AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。（1）求证：ABEECM;（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。,ABEECM,（1）证明：AB=AC,B=C,1,2,3,
20、ABCDEF,B=1,1+2=B+3,3=2,（2）解：1=B=C，且4C，14,1,2,3,4,5,当4=5时，AE=ME,ABEECM,CE=AB=5,BE=1,当1=5时，AM=ME,5=B,C=C,CAECBA,（3）解：设BE=x,ABEECM,AEBC,EMAC,23、(2012自贡12分)如图，在菱形ABC中，AB=4,BAD=120,AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合。证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF;当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；
21、如果变化，求出最大（或最小）值。,证明：,连接AC,四边形ABCD是菱形 BAD=120,AB=BC=CD=AB ADBC,ABCD,B=180-BAD=60,ABC是等边三角形,AC=AB,又AEF是正三角形,AE=AF,1+2=2+3=60,1=3,ABEACF,BE=CF,作AGBC于G,四边形AECF的面积不发生变化,ABEACF,S四边形AECF=SABC,S四边形AECF=,CEF的面积有变化,作EHDC的延长线于H,设BE=CF=x则EC=4-x,BAD=BCD=120,ECH=60,当x=2时，SEFC的面积最大为,24、在RtABC中，A=90,AB=6,AC=8,D、E分别
22、是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q,过点Q作QRBA交AC于R,当点Q与点C重合时，点P停止运动，设BQ=x，QR=y.求点D到BC的距离DH的长；求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的 取值范围）是否存在点P，使PQR为 等腰三角形？若存在，请 求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。,解：,A=90，DHBC,A=BHD=90,B=B,BHDBAC,AB=6,AC=8,D是AB中点,BD=3,QRAB,CQRCBA,假设存在，仍然分 PQ=PR,PQ=RQ,PR=QR三种情况解答,当A、P、Q三点在一条直线上时,点D、E分别是AB、AC的中
23、点,AP=PQ,PQAB,ARQ=BAC=90,AP=PQ=PR,AQBC,BQABAC,x=3.6,当PQ=RQ时,CQRCBA,x=6,当PR=RQ时,R在PQ的垂直平分线上,E是AC的中点，RQAB,R是EC的中点,CQRCBA,x=7.5,25、如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s),解答下列问题：当t=2时，判断BPQ的形状，并说明理由；设BPQ的面积为S(cm 2),求S与t的函数关系式；作QRBA交A
24、C于点R,连结PR,当t为何值时，APRPRQ?,当t=2时，BPQ是等边三角形,作QDPB于D,ABC是等边三角形,BQ=2t,B=60,BD=t,QD=,AP=t,BP=AB-Ap=6-t,QRAB，ABC为等边三角形,CRQ为等边三角形,AR=BQ=2t,BD=AP=t,当 时,APRPRQ,A=B,APR=PRD,APRBDQ,DPR=PDQ=90,四边形PDQR是矩形,RQ=PD=AB-AP-BD=6-2t,t=1.2,当t=1.2s时 APRPRQ,证明：(1)DEBC,B=3,AFD=ACB=90,又DAB=ACB=90,1+B=2+3=90,1=2,AFDBCA,又AD=CD,AF=CF=6cm,当PC+PB最短时PBC的周长最小,当PC+PB最短时PBC的周长最小,AD=CD,AEAC,点C与点A关于DE对称,AB交DE于E,点P与点E重合时,PC+PB=AB最短,AD=10cm,x=12.5cm,y=312.527=64.5cm2,当x=12.5cm时，PBC的周长最小,
