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1、食饵捕食者模型地中海鲨鱼问题,教案,教学目的：通过地中海鲨鱼问题，了解食饵捕食者模型。引入相轨线概念，讨论平衡点。重 点：线性规划思想、概念。难 点：相轨线概念，及此方法讨论平衡点。手 段：通过意大利生物学家Umberto DAncona提出的地中海鲨鱼问题，给出食饵捕食者微分方程组模型。不求解方程组，通过相轨线概念，讨论平衡点。备 注：1。鼓励学生发现实际生活中的问题，做社会实践。2涉及简单积分。,地中海鲨鱼问题,20世纪20年代中期，意大利生物学家Umberto DAncona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见表3-2），
2、而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？,百思不得其解的DAncona求助于他的同事著名的意大利数学家Vito Volterra，希望他能对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型。后来，Volterra成功地利用微分方程组解释了这一现象。,建立微分方程组模型,设食用鱼的数量为x(t)，鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t)，根据鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实，假设a为食饵(食用鱼)的自然增长率，b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数，c为捕食者死亡率，f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食者增多)的比例系数。我们建立
3、下面的微分方程组：,(1),bx为单位鲨鱼捕食量；fy为单个食饵对捕食者的供养能力。,其中a、b、c、f皆为正常数。方程组（1）给出了在没有捕鱼的情况下，软骨鱼和食用鱼之间相互影响的关系。,平衡点与稳定性,一般情况下，我们并不想知道方程组（1）中x(t)、y(t)的变化规律而只关心t+时x(t)、y(t)的变化趋势，因此，只要讨论方程组（1）的平衡点及稳定性即足矣。,平衡点P0(x0,y0)就是右端对应代数方程组的解，仅当limx(t)=x0 且limy(t)=y0 时，我们说平衡点P0是稳定的。称x=x0，y=y0为方程组（2）的平衡解。,(2),注意到，方程组(1)有两组平衡解x(t)=0
4、，y(t)=0及x(t)=c/f，y(t)=a/b。对第一组平衡解，没有讨论的实际意义。,我们在x0，y0的范围内对方程组（1）进行讨论。用相轨线分析平衡点P(c/f,a/b)的稳定性。,对于x0，y0，（1）两式相除，得,(3),易解得（3）式的解为,(4),其中，K为任意常数，由初始条件确定。,定理1 对于x0，y0，方程(4)给出了一族封闭曲线(相轨线)，且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点。,由定理1，当x(0)及y(0)皆为正数时，方程组(1)的解x(t)，y(t)都是时间t的周期函数，设周期为T0。,方程(4)无解析解，数值积分求解，绘制如下图注意到平衡点P(c/f,a/b
5、)，在图中分析得,这是稳定的一种形式。,捕食者与食饵的数量x(t)和y(t)一个周期内的平均值,DAncona的数据是捕食者每年的年平均数，为了比较，我们必须算出方程组(1)的解 x(t)、y(t)的平均值。我们易算出,由y(t)的周期性，y(0)=y(T)，得,同理,(6),(5),捕食者死亡率下降或食饵对捕食者供养能力提高将导致食饵减少,食饵自然增长率下降或捕食者掠取食饵能力提高将使捕食者减少,由方程组中第二个方程知道，这两者都使捕食者y增多；再看第一个方程，知y多将导致食饵x减少。,就是平衡点！,考虑捕鱼对方程组(1)的影响。假设捕鱼使食用鱼按*x(t)的速度减少(0为常数)，鲨鱼等软骨
6、鱼按*y(t)的速度减少。这样，方程组(1)将变为,(7),(8),请同学们仿照前页，求(7)式的平均解,与(5)(6)式比较，我们发现，适当地增加捕食量将使食用鱼的数量增加，而使鲨鱼等软骨鱼的数量减少。反之，我们易得出，降低捕鱼量，将使鲨鱼等软骨鱼的数量增加，而使食用鱼的数量减少。,其他类似问题的理解,利用上述Volterra原理还可解释某种杀虫剂的相反效果。1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬果园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT也同样杀死澳洲瓢虫。结果事与愿
7、违，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。按以上的分析，这种结果是极其自然的。,模型扩展,问题：如果食饵捕食者系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在适当的假设下建立这三者之间关系的模型，并求平衡点。,要求：模型方程建立不要求同学们做到，理解答案即可！平衡点容易计算。,设X11(t)为成年食饵数量，X12(t)为未成年食饵数量，X2(t)为捕食者数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r，仍不考虑各个种群自身的阻滞增长作用，则模型为11=rX12-1X11X2，12=r1X11-rX12，未成年食饵没有被掠食，但有部分减少了，rX12是未成年变成成年食饵的数量。2
8、=X2(-r2+2X11)式中其余符号与本节(1)式的相同，1是捕食者掠取食饵的能力，r1是繁殖率，rX12是未成年变成成年食饵的数量，r2是死亡率，2是食饵X11对捕食者的供养能力。,平衡点为P1(0,0,0)，P2(r2/2,r1r2/r2,r1/1)，P2点中X11和X2结果与本节前面一样,解答：,Volterra级数,是一种泛函级数，由意大利数学家Volterra于1880年首先提出，当时是作为对Taylor级数的推广而提出的。1912年，Volterra将这种泛函级数用于研究某些积分方程和积分-微分方程的解。直到1942年，美国著名科学家、控制论的奠基人N.Wiene:才首次将Vol
9、terra泛函级数用于非线性系统的分析。后来其他人继续N.Wiene:的工作，将Volterra泛函级数用于发展非线性算子理论以及非线性方程和系统分析。二十世纪七十年代后Volterra泛函级数开始受到人们的普遍重视。法国学者Fliess等人建立了由Lie群表示的动力学系统的Volterra泛函级数分析理论。Brockett研究了Volterra泛函级数与几何控制论的关系。美国学者Sandberg利用Volterra泛函级数研究了一大类非线性动力学系统。,特别地，随着计算机技术的发展，Volterra泛函级数越来越显现出其应用价值与巨大潜力。Volterra泛函级数理论之所以具有如此大的吸引力，根本原因在于它与幂级数有着天然的密切联系和相似之处，易为广大工程技术人员和科技工作者所接受。Volterra级数核具有鲜明的物理意义，对工程技术领域非常切合实际，它不仅提供了一套新的理论，而且为解决非线性实际问题提供了强有力的方法和工具。Volterra级数使得人们能像使用LaPlace变换和线性传递函数法分析线性系统那样分析一般的非线性动力学系统，有力地推动和促进了非线性科学的研究与发展。,美国生态学家Lotka在1921年研究化学反应和意大利数学家Volterra在1923年研究鱼类竞争时分别提出了现在已经成为生物数学研究中的经典模型之一的Lotka-Volterra系统。,
