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1、第六节 空间直线及其方程,教学内容 1 空间直线的一般方程；2 空间直线的对称式方程与参数方程；3 两直线的夹角；4 直线与平面的夹角；本节考研要求 掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线与点到平面的距离。,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,直线方程为,例如,当,3.参数式方程,设,得参数式方程:,例
2、1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,解,所以交点为,所求直线方程,两点式方程。,注：,解,先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,L,M,N,代入平面方程，得,交点,取方向向量,所求直线方程为,另解,L,M,L,再求过M与L的：,两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.,两直线的夹角公式。,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,解,设所求直线的方向向量为
3、,根据题意知,取,所求直线的方程,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,解,为所求夹角,四、平面束介绍,表示通过直线 的平面束(通过直线 的平面的全体),方程,方程称为通过直线L的平面束方程。可知方程是通过直线L的.对于不同的,方程表示通过直线L的不同平面.反之,凡是通过直线L的平面必定在方程
4、中。,例4.求直线,解:过直线,该平面与平面,在平面,上的投影直线方程.,的平面束方程为,即,垂直的条件是,即,解出 得,代入(1)得,故所求投影直线方程为,例9 求过两个平面x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)的平面方程,解 设直线L通过平面方程,x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3),把点M(1,2,3)的坐标代入方程(4)我们得到,3-=0,我们取=1,则=3.代入方程(4)得到,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,4.平面束,不含平面,
