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1、第六节 空间直线及其方程,1,直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；,主要内容,空间直线的一般方程,2,直线的点向式方程,其中方向向量,已知点,直线的参数方程,3,两直线的夹角公式 ；,直线与平面的夹角公式。,4,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,5,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的点向式方程与参数方程,注：,同一条直线的方向向量有无穷多个。有单位向量，还有一般的向量。,6,下面导出直线的点向式方程,直线的对称式方程,7,令,方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方
2、程,下面得出直线的参数方程,在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的参数方程求解更加简便,8,直线的对称式方程,直线的一般方程,下面从对称式方程得出直线的一般方程,9,从空间直线的一般方程到对称式方程,先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。,注：直线方程的表示形式均不唯一。,10,例1 用点向式方程表示直线,举例说明如何将直线的一般方程转化为点向式方程。,方法一：用点向式表示直线方程方法二：用消元法求直线方程,11,解,方法一：,点向式,下找所求直线的方向向量，由已知可知,于是点(-4,2,0)是所求直线上的一点。,先找直线上的一点，在直线方程中令z=0,12,用点向式写出直线方程,13,方
3、法二：,消元法求直线方程,将方程,分别消去x，y得到,14,于是直线方程为,化简整理得直线方程为,15,练 习,解,16,17,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,18,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,19,解,从题意可得：两直线的方向向量为,于是，代入两直线的夹角公式,20,所以两直线的夹角为,21,练 习,解,22,23,24,直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；,回顾,空间直线的一般方程,25,直线的点向式方程,其中方向向量,已知点,直线的参数方程,26,两直线的夹角公式 ；,27,解,37页 习题8-4,28
4、,29,解,30,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,31,直线与平面的夹角公式,32,直线与平面的位置关系：,33,解,从题意可得：已知平面的法向量就是所求直线的方向向量。,于是，直线的方程为,34,解,为所求夹角,练 习,35,五、综合举例,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,36,所求直线的方程,37,解,练 习,38,于是所求平面方程为,即,39,解,即求方程组,的解。,利用直线的参数方程求解更简便,40,设,代入题中平面方程,代入参数方程中得：,于是所求交点坐标为,中得：,41,解,练 习,42,设,代入平面方程,综上，投影坐标
5、为,43,例6,方法一：点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过A的直线与垂直已知平面的交点来求。,方法二：点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。,方法三：利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：1、过已知点和已知直线的平面；2、过点A且垂直于已知直线的平面。,44,解,先作一过点A且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点B,例6,方法一：点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过A的直线与垂直已知平面的交点来求。,45,令,代入平面方程得,取所求直线的方向向量为,46,所求直线方程为,47,解,先求出直线上任意一点B的坐标,例6,方法二
6、：点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。,48,取所求直线的方向向量为,49,所求直线方程为,50,解,例6,方法三：利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：1、过已知点和已知直线的平面；2、过点A且垂直于已知直线的平面。,51,下求过已知点和已知直线的平面。,52,53,练 习,54,练 习,方法一：用所求直线在A与直线1确定的平面上，同时也在A与直线2确定的平面上来求。即所求直线为两平面的交线。,方法二：点向式求直线方程。假设两个交点分别为B、C。利用交点与A共线来求。,55,解,56,57,58,59,设直线L的一般方程为,其中,下面研究方程,用平面束解题,与,不成比例,通过直线L的所有平面的全体，称为通过直线L的平面束。,60,解,61,所求投影直线方程为,62,解,过已知直线的平面束方程为,练 习,63,由题设知,由此解得,代回平面束方程为,64,
