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1、7.2 直线的方程（1）,黄图盛中学 数学组,林映端,一.复习回顾,直线的方程与方程的直线,直的倾斜角和斜率,概念辨析,7.2 直线的方程(1),4,5,斜率公式,斜率公式的形式特点及适用范围,确定一条直线需要具备几个独立条件,6,以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。,直线的方程与方程的直线,直线的倾斜角和斜率,在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。,倾斜角不是90的直线，它
2、的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K表示。,斜 率 公 式,经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线的斜率公式：,4,5,斜率公式的形式特点及适用范围, 斜率公式与两点的顺序无关， 即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒； 斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角； 斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记， 并且会灵活运用; 当x1=x2 ,y1y2时，直线的倾斜角900，没有斜率.,确定一条直线需要具备几个独立条件,6,1 直线经过一个已知点及方向（即斜率）; 2 直线经过两个已知点；,如果把直线当作结
3、论，如何根据这些条件求出直线方程？,7.2 直线的方程,若直线L经过点P1（1，2），且斜率为1，求直线L的方程.,思考,1、直线方程的点斜式和斜截式,若直线L经过点p1(x1,y1)，且斜率为k，求L的方程？,问题1,平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？,问题2：,1、直线方程的点斜式和斜截式,不能,因为斜率可能不存在. 因此,在具体运用时应根据情况分类讨论,避免遗漏.,纵截距：,直线L与Y轴交点的纵坐标。,横截距：,直线L与X轴交点的横坐标。,已知直线的斜率为K，与Y轴的交点是P（0，b）， 求直线L的方程？,说明：,(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜
4、截式。,(2)纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。,问题3：,1、直线方程的点斜式和斜截式,(3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用 斜截式比用点斜式更方便.,(4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？ 什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.,例1 : 一条直线经过点P1(-2,3)，倾斜角=450， 求这条直线的方程.,例2: 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： 斜率是1/2，在轴上的距截是2； 斜角是1350，在轴上的距截是3,例题,如果直线 l 的倾斜角为0，那么经过一点P1(x1，y1) 的直线l的方程为 。,y=y
5、1,x=x1,一条直线经过点P（-2，3），倾斜角为45，求这条直线的方程，并画出图形。,课堂练习,(一）,写出下列直线的点斜式方程；,（1）经过点A（2，5），斜率是4； （2）经过点B（3，-1），斜率是 ；（3）经过点C（- ，2），倾斜角是30；（4）经过点D（0，3），倾斜角是0；（5）经过点E（4，-2），倾斜角是120；,答案,（二）,（三）,（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么直线的斜率是_,倾斜角是_,1,45o,150o,(3).下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A.x =3 B. y=5 C.2y=x D. x=4y1,B,(4)已知直
6、线的斜率k=2，P1(3,5),P2(x2,7),P3(-1,y3)是这条 直线上的三点，求x2 , y3.,小结,方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的点斜式；,方程y=kx+b是由直线 l 的斜率和它在 y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式；,求直线方程应注意分类：()当k存在时,经过点P1(x1，y1)的方程为y-y1=k(x-x1) ；() 当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的方程为 x=x1 。,方程y=kx+b是y-y1=k(x-x1) 的特殊情况，其图形是直线，运用它们解决问题的前提是k存在。,通过上面的学习和应用，请同学们
7、总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？,小结,y-y0=k(x-x0),y=kx+b,点(x0,y0)斜率k,截距b斜率k,k存在,k存在,2 一直线过点A(-1,-3)，其倾斜角等于直线 y=2x倾斜角的两倍，求直线l的方程.,1 直线y=ax+b(a+b=0)的图象是 ( ),1,-1,-1,A,B,C,D,课前练习,2、直线方程的两点式和截距式,已知直线上两点A(x1,y1), B(x2,y2) ,(x1x2)求直线方程.,范围的区别,应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程： A(2,1),B(6,-3)； A(-4,-5),B(0,0),由于这个方程是由直线上两点确定的,探
8、究1：哪些直线不能用两点式表示？,探究2：若要包含倾斜角为900或0的直线， 应把两点式变成什么形式？,探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的， 还有没有其他的途径来进行推导呢？,2、直线方程的两点式和截距式,例1 : 求过下列两点的直线的两点式方程， 再化为斜截式方程. （1）A（2,1），B（0，3）； （2）A（1，2），B（3,4） （3）A（0,5），B(5,0)； （4）A(a,0) B(0,b )（a,b均不为0）,2、直线方程的两点式和截距式,例题,2、直线方程的两点式和截距式,直线与x轴交于一点（a,0）,定义a为直线在x轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,b）定义b为
9、直线在y轴上的截距.,以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.,由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？,探究4：a,b表示截距，是不是表示直线 与坐标轴的两个交点到原点的距离？,探究5：有没有截距式不能表示的直线？,2、直线方程的两点式和截距式,例3、 说出下列直线的方程，并画出图形. 倾斜角为450，在轴上的截距为0； 在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为6； 在x轴上截距是3，与y轴平行； 在y轴上的截距是4，与x轴平行.,2、直线方程的两点式和截距式,例题,例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2) 求这个三角形三边所在的直线
10、方程.,2、直线方程的两点式和截距式,补充练习,B,2、直线方程的两点式和截距式,补充练习,过点P(2,1)作直线L交x,y正半轴于A,B两点，当 |PA|.|PB|取到最小值时，求直线L的方程。,已知直线的斜率为1/6，且和坐标轴围成面积为 3的三角形，求该直线的方程。,3 一条直线经过A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所 围成的三角形面积是4，求这条直线的方程。,通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？,小结,P1(x1,y1)P2(x2,y2),x轴上的截距y轴上的截距,a0且b0,3、直线方程的一般形式,P(x1,y1)及k,k及b,P(x1,y1)及P
11、2(x2,y2),a及b,a0且b0,直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.,什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?,3、直线方程的一般形式,问题1：平面内的任一条直线，一定可以用 以上四种形式之一来表示吗？,问题2：是否存在某种形式的直线方程， 它能表示平面内的任何一条直线？,P(x1,y1)及k,k及b,P(x1,y1)及P2(x2,y2),a及b,a0且b0,什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?,问题1：平面内的任一条直线，一定可以用 以上四种形式之一来表示吗？,问题2：是否存在某种形式的直线方程， 它能表示平面内的任何一条直线？,探究2：在平面直角坐标
12、系中，任何直线的方程 都可以表示成Ax+By+C=0 (A、B不全 为0)的形式吗？,探究1：方程Ax+By+C=0 (A、B不全为0) 总表示直线吗？,Ax+By+C=0(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式,3、直线方程的一般形式,3、直线方程的一般形式,例题,解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜 式是 y + 4 = -4/5 （x 6） 化成一般式，得 4x+3y 12=0,例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为-4/3， 求直线的点斜式和一般式方程.,注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系
13、数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.,2.已知直线Ax+By+C=0(1)当B0时，斜率是多少?当B0时呢?(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?,补充练习,3、直线方程的一般形式,例题,解：将原方程移项，得2y = x+6， 两边除以2，得斜截式,因此，直线L的斜率k=1/2，它在Y轴上的截距是3 ，,令y=0，可得 x= -6即直线L在X轴上的截距是- 6,3,-6,例2、把直线l 的方程x 2y+6= 0化成斜截式， 求出直线l 的斜率和它在X轴与Y轴上的截 距，并画图.,3、直线方程的一般形式,例题,例3、设直线L的方程为 （m2-2m-3）x+（2
14、m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1） L在X轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.,解：（1）由题意得,(2)由题意得,当m=1时，2m2+m1= 0 ，m- 1,m = 4/3,补充练习,求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并画出图形： 3x+y-5=0 x/4 y/5 =1 x+2y=0 7x6y+4=0 2y7=0,3、直线方程的一般形式,例题,例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.,解：设直线为Ax+By+C=0，,直线过点（0，3）代入直线方程得3B= -C， B= C/3,A=C/4,又直线与X，Y轴的截距分别为x= -C/A,Y= -C/B,由三角形面积为6得,方程为,所求直线方程为3x-4y+12=0或3X+4y-12=0,
