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1、第2章 控制系统的数学模型,引言,定义：描述控制系统输入和输出之间关系的数学表达式即为数学模型。用途：1）分析控制系统 2）设计控制系统,表达形式：,时域：微分方程、差分方程、状态方程,复域：传递函数、动态结构图、信号流图,频域：频率特性,引言,解析法对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理化学规律列写相应的运动方程。,实验法人为的加某种测试信号，记录其输出，用适当的数学模型去逼近。（系统辨识）,建立控制系统数学模型的方法：,引言,2-1 控制系统的时域数学模型,微分方程,1）确定系统的输入、输出变量；,2）根据控制系统所遵循的物理或化学定律，写出各元件或运动过程的微分方程；,3）消去
2、中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；,4）标准化，将与输入量有关的各项放在等号右面，与输出量有关的各项放在等号左面，并按照降幂进行排列。,解析法建立控制系统微分方程的一般步骤：,2-1 控制系统的时域数学模型,1.线性元件及系统微分方程,例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量的微分方程。,2-1 控制系统的时域数学模型,1.输入,2.根据基尔霍夫定律，写微分方程,输出,(2),(1),2-1 控制系统的时域数学模型,3.消去中间变量i(t),(3),4.标准化,(4),2-1 控制系统的时域数学模型,例2:机械位移系统,物体在外力F
3、(t)作用下产生位移y(t)，写出运动方程。,1.输入F(t)，输出y(t),2.理论依据:牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积.,2-1 控制系统的时域数学模型,m,（1）,（4）,（3）,（2）,2-1 控制系统的时域数学模型,3.消去中间变量,4.标准化,（5）,（6）,2-1 控制系统的时域数学模型,例3 设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转动系统，如图所示。试列写以力矩Mi为输入变量，角速度为输出变量的系统微分方程。,2-1 控制系统的时域数学模型,1 输入，输出.理论依据：角加速度方程,2-1 控制系统的时域数学模型,式中，f 阻尼器的粘性摩擦阻力矩，它与
4、角速 度成正比；f阻尼系数；J惯性负载的转动惯量,（1）,.标准化,.消去中间变量,若以负载转角为系统的输出量，即有,则系统的微分方程为,2-1 控制系统的时域数学模型,例 电枢控制直流电动机如图，电枢电压为输入量，电动机转速为输出量，是电枢电路的电阻,为负载转矩。,2-1 控制系统的时域数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型,.确定输入输出,.理论依据：,楞次定律：,基尔霍夫定律：,安培定律：,牛顿定律：,。消去中间变量,。标准化,其中,2-1 控制系统的时域数学模型,许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样,可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统。,上例的
5、机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。,2-1 控制系统的时域数学模型,结论：,2.非线性微分方程线性化,实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下简化为线性问题，即将非线性模型线性化。,2-1 控制系统的时域数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型,非线性函数的线性化:将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程。,例5：某元件的输出与输入之间的关系的曲线如图所示，元件的工作点为(x0，y0)。,将非线
6、性函数y=f(x)在工作点(x0，y0)附近展开成泰勒级数，得,当(x-x0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成：,式中，为工作点(x0，y0)处的斜率。,2-1 控制系统的时域数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型,增量方程：,将增量以普通变量来表示，就得到线性化方程,其中,2-1 控制系统的时域数学模型,3.线性定常微分方程求解,2-1 控制系统的时域数学模型,4.拉普拉斯变换,拉氏变换的定义,2-1 控制系统的时域数学模型,（2）指数函数,（1）阶跃函数,常见函数的拉氏变换,2-1 控制系统的时域数学模型,（3）正弦函数,2-1 控制系统的时域数学模型,（1）线性性质,拉氏变换的几
7、个重要定理,（2）微分定理,0初条件下有：,2-1 控制系统的时域数学模型,例6 求,解.,例7 求,解.,2-1 控制系统的时域数学模型,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例8 求 Lt=?,解.,例9 求,解.,2-1 控制系统的时域数学模型,（4）实位移定理,证明：,例10,解.,令,2-1 控制系统的时域数学模型,例13,（5）复位移定理,证明：,令,例11,例12,2-1 控制系统的时域数学模型,（6）初值定理,证明：由微分定理,例14,2-1 控制系统的时域数学模型,（7）终值定理,证明：由微分定理,例15,（终值确实存在时）,例16,2-1 控制系统的时域数学模型,常
8、见函数拉氏变换,（2）单位阶跃,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,2-1 控制系统的时域数学模型,拉氏变换重要定理,（5）复位移定理,（6）初值定理,（7）终值定理,（2）微分定理,（1）线性性质,（3）积分定理,（4）实位移定理,2-1 控制系统的时域数学模型,L变换,系统微分方程,L-1变换,5.用拉普拉斯变换求解微分方程,2-1 控制系统的时域数学模型,6.拉普拉斯反变换,（1）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,2-1 控制系统的时域数学模型,用留数法分解部分分式,一般有,其中：,设,I.当 无重根时,2-1
9、控制系统的时域数学模型,解.,解.,2-1 控制系统的时域数学模型,解一.,解二：,2-1 控制系统的时域数学模型,II.当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),2-1 控制系统的时域数学模型,解.,2-1 控制系统的时域数学模型,例6 R-C 电路计算,2-1 控制系统的时域数学模型,(1)输入 u r(t),(2)初始条件,(3)系统的结构参数,规定 r(t)=1(t),规定0 初始条件,自身特性决定系统性能,影响系统响应的因素,定义：,2-2 控制系统的复域数学模型,在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,微分方程一般形式：,拉氏变换：,传递函数：,传递函数
10、的性质,2-2 控制系统的复域数学模型,(1)G(s)是复函数；(2)G(s)只与系统自身的结构参数有关；(3)G(s)与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L k(t)；(5)G(s)与 s 平面上的零极点图相对应。,2-2 控制系统的复域数学模型,传递函数的零极点,零点,极点,根轨迹增益，=,2-2 控制系统的复域数学模型,传递函数的标准形式,1.首1标准型,根轨迹增益,2.尾1标准型,增益,2-2 控制系统的复域数学模型,例7 已知,将其化为首1、尾1标准型,并确定其增益。,解.,首1标准型,尾1标准型,增益,2-2 控制系统的复域数学模型,例8 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：试
11、求：（1）系统的传递函数；（2）系统的增益；（3）系统的特征根及相应的模态；（4）画出对应的零极点图；（5）求系统的单位脉冲响应；（6）求系统微分方程；（7）当 c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。解.（1）,2-2 控制系统的复域数学模型,(2),(4)如图所示,(3),(5),(6),2-2 控制系统的复域数学模型,（7）,其中初条件引起的自由响应部分,2-2 控制系统的复域数学模型,2.典型元部件传递函数,（1）电位器（2）电桥式误差角检测器（3）无源网络（4）测速发电机（5）电枢控制式直流电动机（6）齿轮系,3.典型环节的传递函数,（1）比例环节（2）微分
12、环节（3）积分环节（4）惯性环节（5）一阶微分环节（6）二阶微分环节（7）二阶振荡环节,2-2 控制系统的复域数学模型,2-3 动态结构图及等效变换,1.动态结构图的组成,1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。,2、引出点：信号引出或测量的位置。,从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同,3、比较点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，“”表示相加，常省略，“”表示相减。,4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。,2-3 动态结构图及等效变换,2.动态结构图的建立,2-3 动态结构图及等效变换,1 建立控制系统各元件的微分方程。,2 对各微分
13、方程在零初始条件 下进行拉式变化，并画出各元件结构图。,3 按照信号传递方向，依次将各元件结构图连起来。,2-3 动态结构图及等效变换,例 试绘制如图所示的RC网络的方框图。设输入为u1(t)，输出为u2(t)。,1建立各元件的微分方程,2-3 动态结构图及等效变换,2将各元件的微分方程进行拉氏变换。,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,3绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来,作用：1）直观形象的分析变量之间的关系 2）方便求解传递函数,2-3 动态结构图及等效变换,3.典型连接方式及等效变换,1、串联及等效,2-3 动态结构图及等效变换
14、,2、并联及等效,2-3 动态结构图及等效变换,3、反馈及等效,2-3 动态结构图及等效变换,4、引出点的移动,G(S),2-3 动态结构图及等效变换,5、比较点的移动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,1）前移,2）后移,x2,x3,x1,G(s),G(s),G(s),x1,x2,x3,-,-,2-3 动态结构图及等效变换,相邻综合点之间可以随意调换位置,注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!,2-3 动态结构图及等效变换,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,例：试简化系统结构图，并求系
15、统传递函数。,2-3 动态结构图及等效变换,方法2:引出点前移,2-3 动态结构图及等效变换,例 试简化如图所示系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,1,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,2-3 动态结构图及等效变换,2-4 信号流图及梅逊公式,一、信流图的基本概念,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。,增益 两节点间的传递函数。,信流图的基本术语：,1、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。2
16、、阱节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱节点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。,2-4 信号流图及梅逊公式,4、通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。,3、混合节点：既有输入支路也有输出支路的节点称为混合节点。,5、开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。,6、回路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为回路。,2-4 信号流图及梅逊公式,7、回路增益：回路中各支路增益的乘积称为回路增益。8、前向通路：是指从源头开始并终止于阱节点且与其他 节点相交不多于一次的通路，该通路的各增益乘积
17、称为前向通道增益。9、不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。,2-4 信号流图及梅逊公式,例：,2-4 信号流图及梅逊公式,信流图的基本性质：,1 节点标志系统的变量。每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和。,2 支路相当于乘法器，信号经过支路时，被乘以支路增益而变成另外一种信号。,3 信号在支路上只能沿箭头单向传递。,4 对于给定系统，节点变量可任意设置，因此信号流图不唯一。,2-4 信号流图及梅逊公式,二、信流图的绘制,1、由结构图绘制信流图,1）在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便得到节点。,2）用标有传
18、递函数的有向线段代替结构图中的方框，便得到支路。,2-4 信号流图及梅逊公式,例：,2-4 信号流图及梅逊公式,2、由方程组绘制信流图,首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。,2-4 信号流图及梅逊公式,三、梅逊（Mason）增益公式,在信号流图中计算输入节点与输出节点间传递函数的Mason公式为 n 前向通路的条数；P 总增益（传递函数）；Pk第k条前向通路的增益；信号流图的特征式，即,2-4 信号流图及梅逊公式,所有回路增益之和；每两个不接触回路增益乘积之和；每三个不接触回路增益乘积之和；k 第k条前向通路的余子式，
19、即把与该通路相接触的回路的回路增益置为0后，特征式所余下的部分。,2-4 信号流图及梅逊公式,例.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数。,2-4 信号流图及梅逊公式,2-4 信号流图及梅逊公式,1 两条前向通路，其增益为：,2 五条回路，其增益为：,2-4 信号流图及梅逊公式,3 不存在不接触回路,4 五个回路均与前向通路接触,2-4 信号流图及梅逊公式,例2-12 试应用Mason公式，求下图所示系统的传递函数C(s)/R(s)。,2-4 信号流图及梅逊公式,1 该系统有四条前向通路，它们的通路增益分别为,2 六条回路，其增益为：,2-4 信号流图及梅逊公式,3 有一对不接触回路L1和L2，其增益之积,4 所有回路与前向通路均有接触,2-4 信号流图及梅逊公式,25 控制系统的传递函数,一、系统的开环传递函数,开环传递函数：在H(s)的输出端把主反馈通道断开，前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积。,二、输入作用下系统的闭环传递函数,三、扰动作用下系统的闭环传递函数,25 控制系统的传递函数,四、系统的总输出,25 控制系统的传递函数,五、误差传递函数,输入作用下的误差传递函数,扰动作用下的误差传递函数,25 控制系统的传递函数,六、系统的总误差,25 控制系统的传递函数,本章小结,
