自动控制理论概述.ppt

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1、自动控制理论_第五章,下一张,最后一张,结束授课,返回首页,参考教材绪论主要参考资料第一章 自动控制系统绪论第二章 自动控制系统的数学模型第三章 自动控制系统的时域分析第四章 根轨迹法第五章 频率法分析第六章 控制系统的综合校正第七章 非线性控制系统分析第八章 线性离散控制系统,第五章 控制系统的频率法分析第一节 频率特性的基本概念第二节 极坐标图第三节 对数坐标图第四节 系统稳定性分析第五节 闭环系统频率特性第六节 闭环频率特性与时域性能分析第七节 系统传递函数的实验确定法本章小节、重点和练习题,第02页,第五章 频率响应法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,频率响应法是二十世纪三

2、十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：,第一节 频率特性的基本概念,从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发，把握频率特性的基本概念。一、对正弦输入信号的稳态输出 设r(t)为正弦信号，作用于线性定常系统（s），输出响应为c(t)。,r（t）Rsin（t）,拉氏变换为：,（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。（2）系统的频率特性可用实验方法测出。（3）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。本章主要讨论频率响应法的基本概念、典型环节及系统频率

3、特性的求法、频率特性与时域响应的关系和闭环系统的频率特性等。,第03页,利用拉氏变换法可求出系统响应的稳态值为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,可见，系统输入为正弦信号时，输出的稳态响应（正弦稳态响应）也是一个正弦信号。其频率与输入信号相同，幅值等于输入信号的幅值R与|(j)|的乘积；而初相角则等于输入信号的初相角与系统相角的叠加，相角的变化与输入正弦信号角频率有关。,【例5-1】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=sin t时系统的稳态输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s)，令s=j 得,如=2,则(j2)=0.35-4

4、5o,则系统稳态输出为：c(t)=0.35sin(2t-45o),第04页,二、频率特性的定义,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,式中,A()是稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比,称为幅频特性。()是稳态输出信号的相角与输入信号相角之差(相移)，称为相频特性。(j)则称为幅相频率特性。(j)的幅值和相位均随输入正弦信号角频率的变化而变化。在系统闭环传递函数(s)中，令s=j，即可得到系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频率特性之分。,1、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应,记为c(t)2、频率特性 系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比

5、称为系统的频率特性，是随输入正弦信号角频率变化而变化的复变函数，记为(j)，即,第05 页,三、频率特性表示法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,频率特性可用解析式或图形来表示。（一）解析表示,系统开环频率特性可用以下解析式表示,幅频-相频形式：指数形式(极坐标)：三角函数形式：实频-虚频形式：,（二）系统频率特性常用的图解形式 1.极坐标图奈奎斯特图（Nyqusit）系统频率特性为幅频-相频形式,当在0变化时,相量G(j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的相量G(j)H(j)的端点在复平面 G(j)H(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqus

6、it曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。,第06 页,【例5-2】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,解 写出频率特性的表达式,可以证明，G(j)H(j)的实部和虚部满足下式：,上式表明，系统幅相频率特性曲线是G(j)H(j)平面上以(1/2,0j)为圆心，1/2为半径的下半圆（因相角总小于零）。绘制出的幅相频率特性曲线如右图所示。,第07 页,2.对数坐标图伯德图（Bode）,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,对数相频特性记为,单位为分贝（dB),对数幅频特性记为,单位为弧度（rad),【例5-3】绘制G

7、(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的对数幅频和对数相频特性曲线(Bode图)。,解 由,得,如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度），合称为伯德图(Bode图)。,第08页,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,当从0变化到 时，分别绘制Bode图如下：,工程实践中，一般采用分段直线（渐近线）来绘制系统对数幅频特性曲线L(),用取有限个频率点计算相角并描绘曲线的方法绘制()曲线。必要时

8、在一些特殊频段进行修正。例如前例中,当1/T时,L()近似为平行于横轴，高度为0dB的一条直线；当 1/T时,L()=20lg T,是一条频率每增加10倍，幅值就下降20dB的直线。该直线的斜率记为-20dB/dec。,=1/T时，前述两条直线相交，=1/T称为转折频率。用上述近似方法产生的最大误差为-3.03dB,发生在转折频率处。,第09页,第二节 极坐标图 本节主要讨论典型环节以及一般开环系统的极坐标（Nyqusit）图的画法。一、典型环节的极坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.比例环节 幅相频率特性是一个与频率无关的常量,幅值为K(实轴上一点)，相角为零。2.积分环

9、节 幅相频率特性与负虚轴重合,由0到变化时,幅值由到零,相角始终为-90o。3.微分环节 幅相频率特性与正虚轴重合,由0到变化时,幅值由0到,相角始终为90o。4.惯性环节 幅相频率特性为一个下半圆,当 由0到变化时,幅相特性起于实轴上K点，终止于坐标原点。5.一阶微分环节 幅相频率特性是一条平行于正虚轴的射线,当由0到变化时，幅相频率特性起于 10点指向 90o。6.振荡环节 幅相频率特性图为一不规则的圆弧。当由0到变化时，频率特性起于正实轴上（1，0j）点，终止于坐标原点。圆弧线随由1到0时幅值变大，当=1/T=n时，交虚轴于1/2处。,第10页,7.二阶微分环节 幅相频率特性为起于实轴上

10、1 0o点，由0到变化时，频率特性向左上方延伸指向180o处。8.滞后（延迟）环节 幅相频率特性为圆心在坐标原点、半径为1的单位圆。当由0到变化时，特性曲线由10o点顺时针方向旋转，相角（为负值）不断增加而幅值恒为1。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,表5-1给出了典型环节及其极坐标图。,第11 页,续表,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第12页,二、开环控制系统的极坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.将系统开环传递函数按典型环节分解为,Gi(S）（i=1,2,）除K/sv外的其他典型环节。,2.确定幅相曲线的起点和终点 幅相曲线的起点为G（j0+）

11、H（j0+），终点为G（j）H（j）。,（1）起点=0+(即低频段)，除比例、积分和微分环节外，其他典型环节的频率特性在起点处有Gi(j0)H(j0+)=1ej0+。故与系统的类型有关，见右图。一般有,一般工业控制系统都是由多个环节组成的，若逐点计算绘图将十分繁琐，以下介绍工程常用的绘制概略幅相曲线的方法，主要步骤为:,第13 页,幅相特性曲线的起点有以下结论：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,有时需要求取幅相特性的低频渐近线,（2）终点(即高频段)，此时频率特性的幅值与分子和分母多项式的阶次差（n-m）值有关。对于实际物理系统总有nm，由式（4-4）可得,n1,m1为开环传函中正

12、实部零极点数,第14 页,3确定幅相曲线与实轴、虚轴的交点及中频段的其他特征点,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（1）曲线与实轴交点坐标的求取,令虚部为零，即 或,求出，代入实部ReG(j)H(j)中，可得幅相曲线与实轴的交点坐标。,（2）曲线与虚轴交点坐标的求取。同理令ReG(j)H(j)=0，可确定曲线与虚轴的交点坐标。,（3）列表计算一些中、高频段的频率点坐标,（4）逐点描绘幅相特性曲线,系统幅相特性曲线与负实轴的交点坐标是判定系统稳定的关键因素，而与实轴的交点可用于确定中频段的位置，中频段的形状主要由频率特性的分子、分母中各因子的时间常数决定。,第15 页,【例5-4】设系

13、统开环频率特性为 试绘制系统的极坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,解 本系统m=0,n-m=3,=1 低频段0+时，G(j)H(j)=-90o，具有-2.5的低频渐近线。高频段 时，G(j)H(j)=0-90o 3,中频段：令ImG(j)H(j)=0，求出=10,取=10 代入ReG(j)H(j)=-0.4可知与实轴交点坐标为(-0.4,j0)。由ReG(j)H(j)=0，可得=，表明幅相特性曲线仅在坐标原点处与虚轴相交。,将以上特征点概略地绘制如右图,第16页,第三节 对数坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一、对数坐标图（Bode图）及其特点 对数频率特性

14、图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度或运算，使系统的分析和设计变得十分简便。,1.伯德（Bode）图的构成 对数幅频特性图的横坐标是对取以10为底的对数进行分度的，而纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L()表示。则有,对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o）,仍用()表示。上述方法构成的半对数坐标如下,本节介绍典型环节以及一般开环系统的对数坐标（Bode）图的画法。,第17页,2Bode图法的特点 Bode图在控制工程设计和综合中，具有以下优点。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（1）横坐标按频率取对数分度，

15、低频部分分辨率高，而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数20Lg|G（s）H（s）|后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状,只会使幅频特性曲线作上下平移。,二、典型环节的对数坐标图 1.比例环节（K）,第18页,2.积分环节(1/s),第一张,上一张,下一张,最后一张

16、,结束授课,3.微分环节（s）,第19 页,4.惯性环节(,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,),（1）对数幅频特性 a.低频段近似特性为:L()=0 dB；b.高频段近似特性为:L()=-20 lg T;c.=1/T处的近似特性为:L(1/T)=0 dB，精确特性为-3.03dB。,（2）对数相频特性 a.精确相频特性为:()=-arctg(T)；b.近似特性分为三段：低频段:10/T,()=-90o;中频段为一条过(1/T)=-45o的斜线。,第20 页,与arc tg 的对照表,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,5一阶微分环节（TS1）,与一阶惯性环节的幅频特性、相频

17、特性对称于频率轴。L()的高频段斜率为+20dB/dec。,第21 页,6二阶振荡环节（,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,）,（1）对数幅频特性,1）低频段T1,L()0(dB),2）高频段T1,L()-20lg(T)2=-40lg T(dB),这两条线的交点为T=1,一般可用上述两条直线近似表示L()曲线,3）中频段（0.1T10）形状与 密切相关，必要时可根据图4-16(a)精确绘出。,第22页,（2）二阶振荡环节的相频特性,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1）低频段T1,()0 o,2）高频段T1,()-180 o,3）中频段（0.1T10）,(1/T)=-90

18、o,形状与 密切相关，越小，陡度越大，可根据右图精确绘制。,第23页,7.二阶微分环节(,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,与二阶振荡系统Bode图对称于频率轴。,）,8延迟（滞后）环节（1e-TDs）,第24页,三、开环系统Bode图的绘图方法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。常用方法有三种。,（一）环节曲线叠加法 绘制步骤概括如下:(1)将系统开环频率特性写为各个典型环节乘积形式，确定各环节的转折频率（如果有的话）;(2)将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别

19、画于半对数坐标纸上；(3)将各环节幅频特性曲线进行叠加(在各转折点处各环节幅值数相加)，求得开环对数幅频特性曲线;(4)将各环节相频特性曲线进行叠加(选取若干个值，将各环节在此处的相频数值叠加)，求得开环对数相频特性曲线;(5)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。,【例5-5】设系统开环传递函数为：,试绘制其开环对数频率特性图。,第25 页,解(1)系统开环频率特性可写为,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(2)将以上五个环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别绘于右图,(3)将L1()L5()叠加，求得开环对数幅频特性曲线L(),(4)将1()5()叠加,得开环对数相频

20、特性曲线(),第26 页,（二）顺序斜率叠加法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(1)将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环节的转折频率(如果有的话),并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上；,本方法不必将各个典型环节的L()绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L()曲线,()曲线可用前述办法或计算法绘制,【例5-6】设系统开环传递函数为,试绘制开环系统对数频率特性曲线。,绘制步骤概括如下:,(2)绘制L()的低频段渐近线；a.如为0型系统,低频段平行于频率轴,高度为20lgK;b.如为I型以上系统,则低频段（或其延长线）在=1处的幅值也为20lg

21、K,斜率为-20 dB/dec；,(3)按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。最后一段渐近线的斜率应为-20(n-m)dB/dec,可用该公式验证变换过程；,(4)必要时应对L()曲线进行修正。,第27 页,解(1)先将传递函数化成Bode图的标准式，则原系统开环传递函数变为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(2)将各环节的转角频率由低到高依次标于轴上,如下图所示。,(3)绘制低频渐近线。由于是I型系统,=1处的幅值为20lgK=17.5(dB)。以此点为基准绘制系统低频部

22、分渐近线,是一条斜率为-20dB/dec的直线。,(4)由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的基础上,每遇到一个环节的转折频率,根据该环节的性质作一次斜率变化,直至最后一个环节完成为止。,(5)必要时对渐近线进行修正,画出精确的对数幅频特性。,第28页,（三）计算法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,四、最小相位系统和非最小相位系统,根据系统开环频率特性G(j)H(j),写出相应的对数幅频和相频特性表达式L()和(),依次代入若干个值(一般从最低转折频率的1/10开始到最高转折频率的10倍取值),分别计算不同的L()和()值，逐点描绘,即可绘制出系统的对数频率特性曲线

23、。该方法常用于计算和绘制()曲线。,（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统，如,（2）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零、极点,则该系统称为非最小相位系统。这意味着开环系统不稳定,第29页,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（4）非最小相位一般由两种情况产生:系统内包含有非最小相位元件(如延迟因子);内环不稳定。,（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系(波德定理),（3）具有相同幅值的两个系统,最小相位系统的相角变化范围最小。由0时,一个最小相位系统的相角变化范围为(-90o)到(n-m)(-90o),而非最小相

24、位系统的相角变化范围则较大。如,第30页,五、系统开环对数频率特性与闭环系统稳态误差的关系,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.0型系统,2.I型系统,对右下图I型系统Bode图,低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情况：（1）低频段或低频段延长线与0dB线相交，则交点处的频率=Kv；(2)低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg Kv。,前述已知，在一定输入信号作用下，控制系统的稳态误差与系统结构（类型）及开环放大系数K值有关。通过分析给定的开环对数幅频特性曲线（Bode图），可确定系统的误差系数，从而求出稳态误差。由拉氏变换的初值定理可知，控制系统的稳态性能

25、应从频率特性的低频段去求取。,对类似右图所示的0型系统的Bode图，通过低频段高度L(0)=20lgKp（dB）,可求出Kp=10L(0)/20，计算出系统稳态误差。,第31 页,3.II型系统,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,下图所示为II型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种不同情况：(1)低频段渐近线或低频段渐近线的延长线与0dB线相交，则交点处的频率=Ka1/2；(2)低频段或低频段的延长线在=1时的幅值为20lg Ka,第32页,【例5-7】有 I型系统如下图所示。试证明：(1)斜率为-20dBdec的起始线(或,第一张,上一张,下一张,最后一

26、张,结束授课,它的延长线)与=1的直线的交点处的幅值为20lgKv;(2)斜率为-20dBdec的 起始线(或它的延长线)与0dB直线的交点是一个数值等于Kv的频率(令为1)。(3)斜率为-40dBdec的直线(或其延长线)与0dB线交点(令为3)，为转折频率2与1的几何中点。,证明:(1)由于I型系统在低频段(1)时,有,两边取对数，,得,(2)在与0dB线的交点处，幅值为1,即,所以1=Kv,(3)设开环传递函数为G(S)H(S)=,令转折频率为2,中频段与 0dB线交于3,则有,有32=1 2，可见3为1、2的几何中点。,第33 页,第四节 系统稳定性分析,第一张,上一张,下一张,最后一

27、张,结束授课,时域中闭环系统稳定的充分必要条件是特征根都具有负的实部，即位于s平面的左半部。也可用代数判据Routh（劳斯）和赫尔维茨判据判断。本节介绍工程实用的图解法判据Nyquist（奈奎斯特）判据和 Bode(伯德)图的稳定性分析。,一、Nyquist稳定判据的基本原理 Nyquist判据是利用系统开环幅相频率特性判断闭环系统稳定性的图解法。可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能用于计算系统的相对稳定性指标和改善系统性能。,（）映射原理 Nyquist判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数,S平面上的点,将按上式映射到F(S)平面上的相应点;零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射

28、到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。,第34页,当动点sl在s平面上顺时针方向绕封闭曲线C一周时,则在F(s)平面上也将映射出,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,映射原理：设C为s平面上不经过F(s)的任何极点的封闭曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则当动点s顺时针在C上围绕一周时,映射到F(s)平面上的闭曲线将顺时针围绕坐标原点N 次，且有 N=z-p,（二）特征函数F（s）与G(S)H（S）的关系 图4-31系统,设开环传递函数G(S)H(S)=B(S)A(S),闭环传递函数为,令F(s)为系统的闭环特征式,则有,显然，F

29、(s)的极点就是开环传递函数的极点;而F(s)的零点就是闭环传递函数的极点。,一条闭合曲线。,第35页,根据闭环系统特征方程：F(S)=1G(S)H(S)=0 则有,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,G(S)H(S)=F(S)-1,这意味着G(S)H(S)与F(S)相差实数1。在映射原理中,闭曲线围绕F(S)平面原点的次数等于闭曲线围绕G(S)H(S)平面上的(1,j0)点的次数。如下图所示。,即可利用前述已绘制的系统开环频率特性曲线(Nyquist曲线)判断闭环系统的稳定性。,第36页,（三）Nyquist轨线,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1932年Nyquist将

30、映射原理用于自动控制理论的研究,成功地解决了经典控制理论中系统稳定性的分析问题。,二、Nyquist稳定性判据,（一）Nyquist判据一,设位于s右半平面的系统开环极点个数为p,根据系统开环极点的分布情况,Nyquist判据可分别叙述如下:,当系统开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统),得Nyquist稳定判据一：,（1）开环系统稳定时,即p=0,如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)不包围(-1,0j)点,即式N=z-p中的N等于零,当z=0时,闭环系统稳定。否则不稳定,Nyquist轨线：设有封闭曲线C,它不经过G(s)H(s)的极点,且顺时

31、针包围了整个S右半平面,称C为Nyquist轨线。如下图所示。,闭合曲线由虚轴和S右半平面上半径为无穷大的半圆构成,因此它包围了F(s)=1G(s)H(s)的全部正实部极点(设有p个）和零点(设有z个)。据此,可利用映射原理判断系统稳定性。,第37 页,（2）开环系统不稳定时,即p=1。如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)逆时针,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（二）Nyquist判据二,当系统开环传递函数G(j)H(j)在s平面的虚轴上有极点时(例如I型系统以上系统),则不能使用判据一。此时对Nyquist轨线加以改变,使其从极小的半圆上绕过虚轴上的极点,但仍包围s右半

32、平面1+G(s)H(s)的所有零点和极点。,以虚轴上的开环极点为圆心,无限小的正数 为半径作右半圆,形成完整的Nyquist轨线。无限小 右半圆上的动点S表示为,将其映射到G(s)H(s)平面上,则为半径无限大的圆弧,表示为,（3）当Nyquist曲线G(j)H(j)通过(-1,0j)点时,表明在s平面虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定。,包围(-1,0j)点N次(N0),即N=-p,则z=N+p=0,系统稳定。否则系统不稳定,第38页,具体映射到G(s)H(s)平面上的形状与系统的类型（开环极点个数）有关：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（1）I型系统:角为-9

33、0o+90o，无限小右半圆映射到G(s)H(s)平面上,则为,是一个以原点为圆心，从正虚轴方向无限远处开始，顺时针绕向负虚轴，半径为无限大的右半圆弧。,（2）II型系统:角为-90o+90o,无限小右半圆映射到G(s)H(s)平面上,为,是一个以原点为圆心，从负实轴方向无限远处开始，顺时针绕一周终止于负实轴方向，半径为无限大的圆弧。,Nyquist判据二,当系统开环传递函数中有极点位于S平面虚轴上时(如I型及以上系统),如系统开环频率特性G(j)H(j)在从-+变化逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于G(s)H(s)位于s右半平面的极点数p,系统闭环极点数z=N+p=0,则闭环系统稳定。否则

34、系统不稳定。,第39 页,【例5-10】系统开环传递函数为G(s)H(s)=,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,，试绘制系统的,Nyquist曲线，并判断闭环系统稳定性。,解（1）取Nyquist轨线，顺时针方向分为四段，如下图（a）所示。,1):0-0+,s=-90o+90o 2):0+,s=90o+90o 3):+-,s=90o-90o 4):-0-,s=-90o-90o,（2）分段映射到G(s)H(s)平面,即将对应s值分别代入G(s)H(s)式中,连线成G(s)H(s)系统的奈氏曲线（b）,1)G(s)H(s)=90o-90o 2)G(s)H(s)=-90o 0-180o 3

35、)G(s)H(s)=0-180o 0+180o 4)G(s)H(s)=0+180o+90o,第40页,（3）判断闭环系统的稳定性,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1）由开环传递函数G(s)H(s)知，右半s平面无极点，即p=0；2）令lmG(j)H(j)=0，则得=0，代入式Re G(j)H(j)=0，即不论K值多大,Nyquist曲线不包围(1,j0)点，即 N=0；3）由判据式:N=z-p，得z=0，即闭环系统稳定。,【例5-11】系统开环传递函数为G(S)H(S)=,试讨论系统的稳定性与,T1和T2的关系(T10,T20)。,解 作出G(S)H(S)在T1T2,Tl=T2,T

36、1T2,三种情况下的Nyquist曲线,如下图所示。,1）当T1T2时,G(S)H(S)的Nyquist曲线不包围(-l,j0)点,因此系统稳定。2）当T1=T2时,G(s)H(S)的Nyquist曲线通过(-1,j0)点,有闭环极点位于j轴上,闭环系统处于临界稳定状态。,第41页,3）当T1T2时,G(s)H(s)的Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点两次,即N=2,闭环系统有两个极点位于S右半平面,系统不稳定。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例5-12】系统开环传递函数为G(S)H(S),解（1）取Nyquist轨线,顺时针方向分为四段,如图(a)所示。,1):0-

37、0+,s=-90o+90o 2):0+,s=90o+90o 3):+-,s=90o-90o 4):-0-,s=-90o-90o,（2）分段映射到G(S)H(S)平面,连接成G(j)H(j)系统的Nyquist曲线,如图(b)所示。,试画出其Nyquist图,并判断系统的稳定性。,第42页,（2）判定闭环系统的稳定性：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1）由开环传递函数以G(s)H(s)知，右半s平面无极点，即p=0；,2）令ImG(j)H(j)=0，得=,代入式,T1、T2、K皆为正数，当,1时，K点在(-1,j)点左边,N=0,由判别式:,N=z-p得z=0,即闭环系统稳定。,当

38、,1时,即K点在(-1,j0)点右边,则,N=2,由判别式N=z-p得z=2,闭环系统不稳定。,当,=1时,即K点过(-1,j0)点,则N=1,由判别式N=z-p得z=1,闭环系统不稳定。,（三）条件稳定系统 系统对某些K值是稳定的，而当K增大或减小到另一范围时，系统又变得不稳定，这样的系统称为条件稳定系统。如右图所示系统中，为保证系统稳定,(-l,j0)点必须在AB范围内。,第43 页,（四）采用逆极坐标的 Nyquist稳定判据。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,分析多回路系统时,为了进行图解分析,有时采用开环频率特性的倒数,进行Nyquist稳定判据的讨论更为方便，此时称为逆

39、极坐标的Nyquist,判据。,采用逆极坐标图的Nyquist稳定判据为：闭环系统稳定的充分和必要条件是,当从-到+变化时，,的Nyquist曲线按逆时针方向包围(-1,j0)点N次。,N为位于 S右半平面,的极点数,即 G(S)H(S)位于 S右半平面的零点数。,如 G(S)H(S)在S右半平面无零点,则系统稳定的充要条件是:,的,Nyquist曲线不包围(-1,j0)点。,三、控制系统的相对稳定性分析,在实际控制系统中,首先要求系统必须是稳定的(即绝对稳定性),并且还要求有一定的稳定程度,即稳定裕度。系统稳定裕度用于表征系统的相对稳定程度，经常作为控制系统的频率域性能指标。,第44 页,（

40、）系统相对稳定性的表述,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,从下图 可知：K值较小时，系统稳定；K值较大时，系统不稳定；K取两者间的某个值时，Nyquist曲线通过(-1,j0)点，系统处于临界稳定状态。系统Nyquist曲线与实轴交点坐标离(-1,0j)点的距离，可作为表征系统相对稳定性的一个指标。通常用相角裕量和幅值裕量Kg表示系统稳定裕度。,（二）相角裕量和幅值裕量Kg的定义,1.相角裕量 使系统达到临界稳定需要增加的相角,称为相角裕量,用表示。Nyquist曲线与单位圆交点处的 称为福值穿越频率(此处|G(jc)|=1）,记为 c。则有,=180+(c)稳定系统0,越大,系统相

41、对稳定性越高。,第45 页,2.幅值裕量Kg,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,Nyquist曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，记为Kg。,交点处的称为相角穿越频率,记为g(此处()=180o），则有：,以分贝数表示时：,稳定系统Kg1,或Kg(dB)0,Kg越大，相对稳定性越高。,对非最小相位系统，只有0且Kg1时，才能判断系统的稳定性。对最小相位系统，则仅需两者之一即可，一般取。在工程设计上,一般要求=30o60o,Kg6dB。,第46页,（三）系统的Nyquist图和Bode图的对应关系 系统的Nyquist图与Bode图有如下表所示的直接对应关系。,第一张,上一张,下

42、一张,最后一张,结束授课,注:c为幅值穿越频率(或幅值交接频率),特性曲线与单位圆（0dB线）交接处的频率；g为相位穿越频率(相位交接频率),特性曲线与负实轴（-180o线）交接处的频率。,第47页,四、Bode（伯德）图的稳定性分析,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（一）Bode图上稳定裕量的分析,从上表中可得以下结论：,由上表可知，Bode图与Nyquist图之间具有对应关系，所以在Nyquist图上的分析结论可以移植到Bode图上加以应用。,(1)Nyquist曲线穿过(-1,0j)点,g=c系统处于临界稳定；Bode图上 c 处有=0o(c)=-180o；g处有Kg=0dB

43、L(g)=0dB(2)Nyquist曲线从(-1,0j)点右侧不远处穿过负实轴,g c系统虽然处于稳定状态,但稳定裕度不大；Bode图上 c 处有0o(c)-180o；g处有Kg0dBL(g)c系统处于稳定状态,且稳定裕度大；在Bode图上,c 处有0o(c)-180o;g处有Kg0dB,L(g)0dB,（二）Bode定理及应用,（1）最小相位系统的幅频特性与相频特性具有一一对应关系。即当给定某个频率区间上对数幅频特性的斜率时，同一区间上的对数相频特性就被唯一地确定。反之，当给定某个区间上的对数相频特性时，同一区间上的对数幅频特性也被唯一确定。,（2）某一频率上的相位移，主要决定于同一频率上的

44、对数幅频特性的斜率,其大致的对应关系是：n20dB/dec的斜率对应大约n90o的相角。例如，在幅值穿越频率c处,对数幅频特性渐近线的斜率是-20dB/dec时，则c处的相位移大约为-90o；而渐近线的斜率为-40dB/dec时，则对应相角大约为-180o。在实际工程中，为使系统具有适当的相位裕量，一般使幅频特性渐近线以-20dB/dec的斜率通过0dB线，并在交接频率c附近(1/4c 到 2c)频率范围内保持-20dB/dec的斜率。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第48页,第49页,五、利用“正、负”穿越概念进行系统稳定性判断,1、奈氏图上的“正、负”穿越及稳定性判据,特殊情

45、况：从负实轴上（-，-1期间的穿越 算0.5次,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第50 页,2、Bode图上的“正、负”穿越及稳定性判据,第五节 闭环系统的频率特性,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一、单位反馈闭环系统的频率响应,下图(a)所示为单位反馈控制系统。其开环和闭环频率特性有如下关系,用开环Nyquist图确定闭环频率特性可由下图（b）来实现。由图可见：,（1）当=1时，,第50 页,（2）系统特征式1+G(j1)H(j1)由(-1,0j)点到A点的相量用PA表示。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（3）系统闭环频率特性为,即在=1处，闭环频率特性

46、的幅值等于相量OA与PA的幅值之比，闭环频率特性的相角等于相量OA与PA的夹角：,这样求出不同频率处的幅值和相角，即可绘制出闭环频率特性曲线。,二、等M圆图（等幅值轨线）,设单位反馈系统开环频率特性为:G(j)H(j)=X()jY(),则闭环频率特性为,则有,设M=1,则上式表示一条过点（-1/2,0），平行于虚轴的直线。,第51 页,当M1时，则式,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,这是一个以(-M2/(M2-1),0j)为圆心，|M/(M2-1)|为半径的圆方程。绘出不同M值的园族，称为等M圆。绘有等M圆族的坐标图称为等M圆图。,（1）M1时,随着M增大,M圆变小,当M时收敛于（

47、-1,j0）（3）M圆是以实轴和M=1直线为对称的圆簇。,可写为,第52页,三、等N圆（等相角轨线）,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,由前式，闭环频率特性(j)的相角()可表示为,设tg=N，则,由,可得：,改写为：,配方运算得：,这是一个以（-1/2，j/2N)为圆心，,为半径的圆族,第53页,等N圆图如右下图所示,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,从图中可见：（1）当a0时,随着的减小,N圆变大;并在G(s)平面的上半部。（2）当0时,随着的减小,N圆变大,并在G(s)平面实轴的下半部。（3）实轴上下的N圆以角的正负值对称,左右以过(-1/2，0j)点平行于虚轴的直线

48、对称,且都通过原点和(-1,j0)点。（4）对于给定的值的等N圆,只是一个圆的一段圆弧。,第54页,四、等M圆和等N圆的应用,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,将系统开环Nyquist曲线绘在等M圆和等N圆图上,可以求得系统闭环频率特性在各频率处的幅值和相角,因此绘出闭环幅频特性和相频特性曲线。,下图中，在等M圆坐标纸上绘制系统的开环Nyquist曲线，从Nyquist曲线与各等M圆交点处可求得不同频率时闭环频率特性的幅值；同理，在等N圆坐标纸上绘制某系统的开环Nyquist曲线，从Nyquist曲线与各等N圆交点处可求得不同频率时闭环频率特性的相角；,第55页,第一张,上一张,下一

49、张,最后一张,结束授课,五、尼柯尔斯(Nichols)图线,尼柯尔斯(Nichols)提出了将等M圆和等N圆图移植到对数幅相图上进行分析的方法,形成了广泛应用于工程设计的Nichols图法。,1.Nichols图的构成特点,Nichols图如右图所示。Nichols坐标系:横坐标为线性分度的开环相角,纵坐标为分贝数分度的开环幅值。等M圆变为以-180o线为轴的左右对称曲线，其中部分为封闭曲线(M0dB)。M值越大封闭曲线越小。等N圆变为以-180o线为中心的左右对称曲线。左半平面由上到下为0180o，右半平面由上到下是0-180o负角。等M曲线和等N曲线绘于同一张Nichols坐标纸上。,与N

50、yquist曲线相切的等M圆的M值即为系统的谐振峰值Mr,对应的频率称为谐振频率r。,第56页,2.Nichols图的应用,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,将开环频率特性绘制到有等M曲线和等N曲线的Nichols坐标纸上，则通过开环频率特性曲线与等M曲线和等N曲线的交点，可得各频率处闭环频率特性的M值(单位为分贝)和相角(单位为o)。与等M曲线相切出的M值即为系统谐振峰值Mr,对应的频率即为谐振频率r。,【例5-14】设有单位反馈系统开环传递函数为,Nichols图法求闭环频率特性参数：Mr、r、b、和Kg，并绘制闭环幅频(dB)和相频特性，讨论K变化对上述特性参数的影响。,试由,